Một số dạng luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach p-khả trơn

- MỘT SỐ DẠNG LUẬT SỐ LỚN CHO MẢNG BIẾN NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH p -KHẢ TRƠN.
- MỘT SỐ DẠNG LUẬT SỐ LỚN CHO MẢNG BIẾN NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH.
- 1.2 Một số dạng hội tụ của mảng biến ngẫu nhiên.
- Luật mạnh số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên 18 2.1 Chuỗi kép các biến ngẫu nhiên 2 chỉ số.
- Hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên 44 3.1 Khả tích đều.
- Từ những năm 1950 trở lại đây, luật số lớn đã được nghiên cứu mở rộng cho dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach.
- Luật số lớn đối với dãy biến ngẫu nhiên martingale nhận giá trị trong không gian Banach đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả có tên tuổi.
- Với các lí do trên chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: Một số dạng luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach p -khả trơn..
- Đối tượng nghiên cứu là mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach..
- Luận án nghiên cứu luật số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach..
- Ý nghĩa thực tiễn: luận án góp phần phát triển lý thuyết về các định lí giới hạn của mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach trong lý thuyết xác suất..
- Trong luận án này chúng tôi tiếp tục nghiên cứu luật số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach p -khả trơn..
- Chương 2 thiết lập điều kiện hội tụ đối với chuỗi kép của mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên.
- Cũng trong Chương 2 chúng tôi không chỉ thiết lập luật mạnh số lớn mà còn đưa ra được tốc độ hội tụ của luật số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach..
- Cho X : Ω → E là biến ngẫu nhiên E -giá trị khả tích Bochner và G là một σ -đại số con của F .
- Kì vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên X đối với σ -đại số G là biến ngẫu nhiên E -giá trị E(X |G) thỏa mãn 2 điều kiện:.
- Sự tồn tại của kì vọng có điều kiện của một biến ngẫu nhiên E -giá trị được chỉ ra trong mệnh đề sau..
- Chú ý rằng biến ngẫu nhiên E -giá trị X khả tích Bochner khi và chỉ khi EkX k <.
- Các tính chất của kì vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên E -giá trị có thể xem thêm ở tài liệu [16] và [38]..
- của mảng biến ngẫu nhiên E -giá trị..
- 1) Mảng biến ngẫu nhiên E -giá trị {X mn .
- m ≥ 1, n ≥ 1} xác định trên không gian xác suất (Ω, F , P ) được gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên E -giá trị X khi m ∨ n.
- 2) Mảng biến ngẫu nhiên E -giá trị {X mn .
- m ≥ 1, n ≥ 1} xác định trên không gian xác suất (Ω, F , P ) được gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên E -giá trị X khi m ∧ n.
- 3) Cho mảng biến ngẫu nhiên E -giá trị {X mn .
- m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng biến ngẫu nhiên E -giá trị thỏa mãn.
- m ≥ 1, n ≥ 1} được gọi là hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên E -giá trị X khi m ∨ n.
- m ≥ 1, n ≥ 1} được gọi là hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên E -giá trị X khi m ∧ n.
- Cho mảng biến ngẫu nhiên {X mn .
- Mảng biến ngẫu nhiên E -giá trị {X mn .
- đến biến ngẫu nhiên E -giá trị X khi m ∨ n.
- 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} là mảng gồm m.n biến ngẫu nhiên khả tích nhận giá trị trong không gian Banach p -khả trơn (1 ≤ p ≤ 2.
- Đặt F kl là σ -đại số sinh bởi các biến ngẫu nhiên {X ij .
- Đối với mảng biến ngẫu nhiên độc lập có kì vọng bằng 0 , nhận giá trị trong không gian Banach p -khả trơn thì các giả thiết của Bổ đề 1.3.3 hoàn toàn thỏa mãn.
- 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} là mảng các biến ngẫu nhiên R -giá trị độc lập có kì vọng bằng 0 , nhận giá trị trong tập số thực R và Z ij 6= 0 h.c.c.
- Xét mảng các biến ngẫu nhiên X kl = Q k i=1 Q l j=1 Z ij , khi đó ta có {X kl .
- k ≤ m, l ≤ n} là mảng biến ngẫu nhiên thỏa mãn giả thiết của Bổ đề 1.3.3..
- k ≤ m, l ≤ n} là mảng các biến ngẫu nhiên không độc lập.
- mảng biến ngẫu nhiên E -giá trị {X mn .
- m ≥ 1, n ≥ 1} được gọi là bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên E -giá trị X nếu, tồn tại hằng số dương C <.
- thì tồn tại biến ngẫu nhiên E -giá trị X sao cho X n.
- Cho X là biến ngẫu nhiên R -giá trị và q, t >.
- LUẬT MẠNH SỐ LỚN CHO MẢNG BIẾN NGẪU NHIÊN.
- m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng biến ngẫu nhiên khả tích E -giá trị và F mn là σ -đại số sinh bởi các biến ngẫu nhiên {X ij .
- 2.1 Chuỗi kép các biến ngẫu nhiên 2 chỉ số.
- m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng biến ngẫu nhiên E -giá trị.
- Khi đó, S mn hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên E -giá trị nào đó khi m ∧ n.
- tới một biến ngẫu nhiên S nào đó khi m.
- (2.6) Nếu G mq là σ -đại số sinh bởi các biến ngẫu nhiên {X ij .
- và H mn là σ -đại số sinh bởi các biến ngẫu nhiên {X mj .
- i ≥ 1, j ≥ 1} là mảng các biến ngẫu nhiên R -giá trị độc lập xác định bởi.
- Xét mảng các biến ngẫu nhiên {X mn : m ≥ 1, n ≥ 1} xác định bởi X mn = (mn) −1 Q m i=1 Q n j=1 Z ij .
- Gọi F mn là σ -đại số sinh bởi các biến ngẫu nhiên {X kl : k <.
- Áp dụng Định lí 2.1.3 ta thu được định lí ba chuỗi đối với chuỗi kép các biến ngẫu nhiên 2 chỉ số..
- Gọi G mn là σ -đại số sinh bởi các biến ngẫu nhiên {Y kl − E(Y kl |F kl.
- Khi đó, G mn ⊂ F mn với mọi m ≥ 1, n ≥ 1 .
- Cho X là biến ngẫu nhiên R -giá trị không âm..
- b mn ≤ x} ∀x >.
- m ≥ 1, n ≥ 1} bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X thỏa mãn.
- Nếu gọi G kl và G kl 0 lần lượt là σ -đại số sinh bởi các biến ngẫu nhiên {U ij : i <.
- m ≥ 1, n ≥ 1} bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên E -giá trị X thỏa mãn (2.14) và (2.15.
- Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày các kết quả về tốc độ hội tụ của luật số lớn và luật mạnh số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên E -giá trị..
- Định lí sau đây có thể xem là định lí về luật mạnh số lớn tổng quát đối với mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach bất kì..
- m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng biến ngẫu nhiên E -giá trị, đặt S mn = P m k=1 P n l=1 X kl .
- (ii) Với mọi mảng biến ngẫu nhiên E -giá trị {X mn .
- m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng biến ngẫu nhiên E -giá trị thỏa mãn E(X mn |F mn.
- Nếu X là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach p -khả trơn E , thỏa mãn E kX k r (log + kX k) q−1 <.
- Hai định lí tiếp theo chúng tôi thiết lập luật mạnh số lớn Marcinkiewicz- Zygmund đối với mảng biến ngẫu nhiên E -giá trị..
- m ≥ 1, n ≥ 1} bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X thỏa mãn E kX k r (log + kX k) q−1 <.
- Xét mảng các biến ngẫu nhiên {X mn : m ≥ 1, n ≥ 1} xác định bởi X mn = Q m i=1 Q n j=1 Z ij .
- m ≥ 1, n ≥ 1} bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên R -giá trị X = 1 .
- m ≥ 1, n ≥ 1} bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X sao cho E kX k(log + kX k) q−1 <.
- Thiết lập được các điều kiện để một chuỗi kép các biến ngẫu nhiên E -giá trị hội tụ h.c.c..
- Chứng minh được luật mạnh số lớn Kolmogorov và luật mạnh số lớn Marcinkiewicz-Zygmund đối với mảng biến ngẫu nhiên E -giá trị..
- HỘI TỤ THEO TRUNG BÌNH VÀ LUẬT YẾU SỐ LỚN CHO MẢNG BIẾN NGẪU NHIÊN.
- Trong chương này chúng tôi trình bày các kết quả về sự hội tụ theo trung bình đối với mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach p -khả trơn dưới điều kiện khả tích đều và điều kiện Kolmogorov..
- Dãy biến ngẫu nhiên R -giá trị khả tích {X n .
- Đối với mảng biến ngẫu nhiên E -giá trị, chúng tôi đưa ra khái niệm khả tích đều cấp r theo nghĩa Cesàro như sau..
- Mảng biến ngẫu nhiên E -giá trị khả tích {X ij .
- Giả sử mảng biến ngẫu nhiên E -giá trị khả tích {X ij .
- i ≥ 1, j ≥ 1} là mảng biến ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trong l 2 xác định như sau.
- Gọi G kl là σ -đại số sinh bởi các biến ngẫu nhiên {V mnij 0 − E(V mnij 0 |F ij.
- n ≥ 1} là các dãy biến ngẫu nhiên R -giá trị nhận giá trị nguyên dương sao cho.
- n ≥ 1} là các dãy biến ngẫu nhiên R -giá trị nhận giá trị nguyên dương thỏa mãn điều kiện (3.7.
- C.M mn + C.N mn .
- m ≥ 1, n ≥ 1} bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X .
- n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên R -giá trị bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên R -giá trị X .
- n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên R -giá trị nhận giá trị nguyên dương sao cho.
- i ≥ 1, j ≥ 1} là mảng biến ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trong l p xác định bởi.
- Xét {T n , n ≥ 1} và {τ n , n ≥ 1} là hai dãy các biến ngẫu nhiên R -giá trị độc lập, cùng phân phối xác suất với T 1 and τ 1 cho bởi.
- Thiết lập được các định lí hội tụ theo trung bình bậc p cho mảng 2 chiều các biến ngẫu nhiên E -giá trị dưới điều kiện khả tích đều..
- Chứng minh được sự hội tụ theo trung bình bậc p cho mảng biến ngẫu nhiên E -giá trị dưới điều kiện Kolmogorov..
- Thiết lập được luật yếu số lớn với chỉ số ngẫu nhiên và không ngẫu nhiên cho mảng biến ngẫu nhiên E -giá trị dạng luật số lớn Feller..
- Thiết lập được luật yếu số lớn với chỉ số ngẫu nhiên cho mảng biến ngẫu nhiên E -giá trị dưới điều kiện khả tích đều..
- Luận án nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi ngẫu nhiên, luật mạnh số lớn, luật yếu số lớn và hội tụ theo trung bình bậc p của mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach p -khả trơn.
- Thiết lập điều kiện hội tụ của chuỗi kép đối với mảng biến ngẫu nhiên: định lí một chuỗi và định lí 3 chuỗi.
- Thiết lập luật mạnh số lớn Kolmogorov và luật mạnh số lớn Marcinkiewicz- Zygmund đối với mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach p -khả trơn..
- Thiết lập một số định lí hội tụ theo trung bình bậc p của mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach p -khả trơn dưới điều kiện khả tích đều..
- Thiết lập luật yếu số lớn Feller và luật yếu số lớn dưới điều kiện khả tích đều đối với mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach p -khả trơn..
- Nghiên cứu luật số lớn các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert..
- Nghiên cứu định lí giới hạn trung tâm đối với mảng các biến ngẫu nhiên E -giá trị.