- TUYẾN TÍNH HÓA CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC TRÊN THANG THỜI GIAN. - 2 Tuyến tính hóa trên thang thời gian 12 2.1 Giới thiệu bài toán. - 2.2 Định lí tuyến tính hóa. - 3 Tuyến tính hóa hệ tuần hoàn trên thang thời gian 29 3.1 Thang thời gian tuần hoàn. - 3.2 Tuyến tính hóa trong trường hợp tuần hoàn. - Luận văn trình bày lí thuyết phương trình động lực trên thang thời gian với bài toán tuyến tính hóa.. - Xét hệ phương trình tuyến tính. - và hệ phương trình nửa tuyến tính. - Bằng việc giới thiệu khái niệm hàm tương đương tôpô chúng tôi sẽ nghiên cứu mối quan hệ giữa hệ phương trình tuyến tính (1) và hệ phương trình nửa tuyến tính (2). - tựa bị chặn của hệ phương trình nửa tuyến tính (2) lên hệ phương trình tuyến tính (1).. - Chúng tôi mở rộng định lí tuyến tính hóa của Palmer về phương trình hệ động lực trên thang thời gian. - Nội dung chính của luận văn là định lí tuyến tính hóa trên thang thời gian chứng minh sự tương đương tôpô giữa hệ phương trình nửa tuyến tính (2) và hệ phương trình tuyến tính (1). - Chương 2: chứng minh sự tồn tại hàm tương đương tôpô của hệ phương trình nửa tuyến tính và hệ phương trình tuyến tính. - Chương 3: chứng minh hàm tương đương là ω - tuần hoàn nếu hệ tuyến tính là ω - tuần hoàn trên thang thời gian.. - 1.1 Thang thời gian. - Nếu T = Z , ta có µ ( n. - Nếu T = R , ta có µ ( t. - Với p ∈ R , ta có. - Khi đó ta có (i) e 0 ( t, s. - là không gian tuyến tính các ánh xạ c. - 0 ta có. - Khi đó ta có:. - Khi đó ∀s ∈ U ta có. - Xét phương trình. - Phương trình (1.1) được gọi là hyperbolic (hay có nhị phân mũ) nếu tồn tại N ≥ 1 , α >. - Xét hệ phương trình. - x 0 = x y 0 = −y Khi đó nghiệm của hệ phương trình trên là. - x 0 = 0 y 0 = 0 Ta có định nghĩa tương đương sau.. - Phương trình (1.2) được gọi là có nhị phân mũ nếu tồn tại N ≥ 1 , α >. - Phương trình (1.3) được gọi là có nhị phân mũ nếu tồn tại N ≥ 1 , λ ≥ 0 , họ phép chiếu P n thỏa mãn. - Xét phương trình động lực tuyến tính. - Khi đó phương trình (1.4) được gọi là có nhị phân mũ nếu. - Khi đó ta có Z t 2. - Giả sử phương trình (1 . - Xét phương trình tuyến tính không thuần nhất. - Tuyến tính hóa trên thang thời gian. - Hai hệ phương trình sai phân x n+1 = f ( x n. - Hai hệ phương trình. - Hai hệ phương trình (2.1) và (2.2) được gọi là tương đương tôpô nếu tồn tại đồng phôi h : X. - Hai hệ phương trình x 0 = Ax. - i) Hệ phương trình y n+1 = A n y n có nhị phân mũ, ii) f thỏa mãn điều kiện Lipschitz. - 4) thì ta có khái niệm tương đương tôpô.. - i) Hệ phương trình (1.2) có nhị phân mũ, ii) f thỏa mãn điều kiện Lipschitz. - Tiếp theo ta sẽ chỉ ra rằng trên thang thời gian T , hai hệ phương trình. - A ( t ) x + f ( t, x ) (2.6) là tương đương tôpô nếu hệ phương trình (2.5) có nhị phân mũ và f ( t, x. - Xét hai hệ phương trình. - Tuyến tính hóa trên T. - H 1 ) Hệ tuyến tính (2 . - H 1 ) đưa ra giả thiết hệ phương trình tuyến tính có nhị phân mũ và điều kiện này là thông thường.. - Ta sẽ phát biểu định lí tuyến tính hóa trong trường hợp T = R . - Với T = R , ta có. - Với β = 0 = c = d , ta có. - Định lí tuyến tính hóa với T = R được phát biểu như sau.. - i) Hệ phương trình x 0 = A ( t ) x có nhị phân mũ trên R với số mũ α.. - Giả sử Φ( t, t 0 ) được kí hiệu là toán tử giải (trong trường hợp X là vô hạn chiều) của hệ tuyến tính (2.5), X ( t, t 0 , x 0 ) là nghiệm của (2.6) sao cho điều kiện ban đầu X ( t 0. - Bởi điều kiện ( H 1 ) ta có. - Ta có k h ( t. - Khi đó ta có k h ( t. - 1 ta có T ( z ) là nghiệm ( c, d. - B ta có k T z 1 ( t. - là nghiệm của hệ tuyến tính (2.5).. - là nghiệm của (2.9) ta có. - là nghiệm của hệ nửa tuyến tính (2.6).. - là nghiệm của (2.15) ta có. - là nghiệm của hệ tuyến tính (2.6).. - Khi đó ta có H ( t, G ( t, y. - Cho y ( t ) là nghiệm của hệ tuyến tính (2.5).. - 5, ta có G ( t, y ( t. - 4 ta có H ( t, G ( t, y ( t. - ta có. - Do đó, I ( t ) là nghiệm của hệ tuyến tính (2.5).. - 2, ta có k I ( t ) k = k y ( t. - tựa bị chặn của hệ tuyến tính x. - A ( t ) x nhưng hệ tuyến tính x. - Vì y ( t ) là nghiệm bất kì của hệ tuyến tính (2.5) nên Mệnh đề 2 . - Khi đó ta có G ( t, H ( t, x. - Cho x ( t ) là nghiệm của hệ tuyến tính (2.6).. - 4, ta có H ( t, x ( t. - là nghiệm của hệ nửa tuyến tính (2.5).. - 5 ta có G ( t, H ( t, x ( t. - Do đó, J ( t ) là nghiệm của hệ tuyến tính (2.21).. - 2, ta có k J ( t ) k = k x ( t. - Vì x ( t ) là nghiệm bất kì của hệ tuyến tính (2.6) nên Mệnh đề 2 . - Tiếp theo ta sẽ chứng minh định lí tuyến tính hóa trên thang thời gian và đây là định lí chính của luận văn.. - Để chứng minh H ( t, x ) là hàm tương đương của hệ tuyến tính (2.5) và hệ nửa tuyến tính (2.6), ta chỉ ra rằng H ( t, x ) thỏa mãn bốn điều kiện của Định nghĩa 2 . - 7 ta có H ( t. - Tuyến tính hóa hệ tuần hoàn trên thang thời gian. - Ta có mệnh đề sau.. - u, ta có. - áp dụng cho (3.2)ta có. - Dưới đây ta giới thiệu định lí tuyến tính hóa của hệ tuần hoàn trên thang thời gian. - f ( t, x ) trong hệ nửa tuyến tính (2.6). - Giả sử hệ tuyến tính tuần hoàn x. - L ( t ) e B ( t, t 0 ) Khi đó ta có. - Tương tự, ta có L −1 ( σ ω ( t. - Khi đó ta có Φ A ( σ ω ( t. - 1 ta có P ( σ ω ( s. - Vì vậy, ta có. - Bây giờ, ta sẽ chứng minh định lí tuyến tính của hệ tuần hoàn trên thang thời gian. - 1 ta có