Tính chất bóng của phương trình sai phân

- TÍNH CHẤT BÓNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN.
- 1 Điểm bất động hyperbolic, đa tạp ổn định, đa tạp không ổn.
- định của vi phôi 1.
- 1.1 Điểm bất động hyperbolic của vi phôi.
- 1.2 Đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định.
- 1.3 Tính chất điểm yên ngựa.
- 1.4 Tính trơn của đa tạp ổn định địa phương.
- 1.5 Vi phôi phụ thuộc tham số.
- 2 Tập hyperbolic của vi phôi 19 2.1 Định nghĩa tập hyperbolic.
- 2.5 Tính chất của tập hyperbolic.
- 2.6 Tính vững của tập hyperbolic.
- 3 Định lý bóng cho tập hyperbolic của vi phôi 35 3.1 Định lý bóng.
- 3.2 Nói thêm về tính vững của tập hyperbolic.
- 3.3 Không gian tiệm cận của tập hyperbolic.
- LỜI CẢM ƠN.
- Tính chất bóng có nguồn gốc từ việc giải số phương trình vi phân/sai phân..
- Tính chất bóng có nghĩa là tồn tại một quỹ đạo gần một giả quỹ đạo cho trước..
- Tính bóng được nghiên cứu bởi Anosov, Bowen, Sinai - những người đầu tiên nhận ra rằng nó liên quan đến bài toán ổn định toàn cục của hệ động lực..
- Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu tính bóng của hệ động lực trong lân cận của tập hyperbolic từ cuốn sách "Shadowing in Dynamical Systems Theory and Applications".
- Luận văn được chia làm ba chương:.
- Chương 1 trình bày những khái niệm về điểm cố định hyperbolic của vi phôi.
- đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định.
- tính chất điểm yên ngựa.
- tính nhẵn của đa tạp ổn định địa phương và vi phôi phụ thuộc tham số..
- Chương 2 trình bày định nghĩa của tập hyperbolic.
- các tính chất của tập hyperbolic.
- Tính co giãn trên tập bất biến của vi phôi được định nghĩa và chỉ ra nó là một hệ quả của tính hyperbolic..
- Trong chương này chúng tôi nêu và chứng minh định lý bóng.
- Sau đó chúng ta áp dụng định lý bóng để chứng minh kết quả về tính vững của tập hyperbolic và không gian tiệm cận của các tập hyperbolic..
- Điểm bất động hyperbolic, đa tạp ổn định, đa tạp.
- không ổn định của vi phôi.
- Định nghĩa 1.1.1.
- Cho U là một tập mở trong R n .
- Ánh xạ f : U ⊂ R n → R n được gọi là C r - vi phôi nếu tồn tại f −1 và các ánh xạ f, f −1 thuộc lớp C r.
- Định nghĩa 1.1.2.
- Cho U là một tập mở trong R n , f : U → R n là C 1 - vi phôi.
- Điểm x 0 ∈ U được gọi là điểm bất động hyperbolic của f nếu f (x 0.
- Cho U là tập con mở trong R n , f : U → R n là C 1 - vi phôi.
- Từ định nghĩa của E s , E u trong mục 1.1.2, ta biết rằng E s , E u là bất biến dưới Df (x 0.
- Hơn nữa, bằng kết quả trong đại số tuyến tính, nếu ta gọi λ 1 và λ 2 là các hằng số dương sao cho |λ| <.
- Khi đó tồn tại các hằng số dương k 1 , k 2 sao cho với ∀k ≥ 0, k ∈ Z k[Df (x 0.
- Định nghĩa 1.2.1.
- (Định nghĩa đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định) Cho x 0 là một điểm bất động hyperbolic của C 1 - vi phôi f : U → R n .
- được gọi là đa tạp ổn định của x 0 .
- được gọi là đa tạp không ổn định của x 0.
- Chúng ta sẽ chỉ ra rằng đa tạp ổn định, mặc dù tên của nó như vậy, có thể không là một đa tạp con của R n .
- Tuy nhiên chúng ta có thể mô tả nó bằng hệ các đa tạp ổn định địa phương mà chúng là các đa tạp con của R n.
- Định nghĩa 1.2.2.
- Cho U là một tập con mở trong R n , f : U → R n là một C 1 - vi phôi với x 0 là một điểm bất động hyperbolic.
- 0 cho trước, ta định nghĩa đa tạp ổn định địa phương của x 0 là.
- Ngoài ra, ta còn thấy tính chất bất biến.
- Định nghĩa 1.3.1.
- Cho x 0 là một điểm bất động hyperbolic của vi phôi f , x 0 được gọi là có tính chất điểm yên ngựa nếu tồn tại hằng số dương ∆ mà bất kỳ điểm x nào thỏa mãn kf k (x.
- Mệnh đề 1.3.2.
- Cho U ⊂ R n là tập mở và f : U → R n là C 1 - vi phôi với x 0 là một điểm bất động hyperbolic và tương ứng với các không gian con ổn định, không ổn định E s , E u sao cho các bất đẳng thức sau được thỏa mãn.
- k ξk ≤ k 1 λ k 1 kξk với ξ ∈ E s , (1.1) k[Df (x 0.
- Khi đó nếu x ∈ U và kf k (x.
- với ∀k ≥ 0 thì bất đẳng thức kf k (x.
- tức là x 0 có tính chất của điểm yên ngựa..
- Chứng minh.
- Khi đó f k (x.
- Từ A giao hoán với P , tức là AP = P A, nhân (1.4) với P , ta được P y k+1 = u k+1 = P (Ay k + g(y k.
- Theo tính chất của dãy truy hồi, với k ≥ 0, ta có kết quả u k = A k u 0.
- Tương tự, nhân (1.4) với (I − P ) ta được.
- Áp dụng Mệnh đề 2.5.2 cho g và S O , nếu σ và ∆ đủ nhỏ chỉ phụ thuộc vào K 1 , K 2 , λ 1 , λ 2 , M s , M u và ω.
- tồn tại các hằng số L 1 , L 2 chỉ phụ thuộc vào K 1 , K 2 , λ 1 , λ 2 , M s , M u sao cho nếu.
- (Chú ý rằng trong chứng minh của Mệnh đề 2.5.2 được áp dụng cho g, ω.
- 0 sao cho.
- và kx − xk đủ nhỏ sao cho.
- Khi đó từ Mệnh đề 2.5.2 suy ra rằng.
- Cuối cùng, ta chứng minh rằng h −1 cũng liên tục.
- Khi đó áp dụng Mệnh đề 2.5.2 cho f và S, tồn tại một số dương ∆ chỉ phụ thuộc vào K 1 , K 2 , λ 1 , λ 2 , M s , M u và ω.
- và các hằng số L 1 , L 2 chỉ phụ thuộc vào K 1 , K 2 , λ 1 , λ 2 , M s , M u sao cho nếu.
- và kz − zk đủ nhỏ sao cho.
- Khi đó suy ra rằng.
- Vậy ta đã chứng minh rằng h và h −1 liên tục và Định lý 3.2.2 được chứng minh xong..
- Cho f : U → R n là C 1 - vi phôi và S là tập compact hyperbolic của f .
- Chúng ta có thể xác định đa tạp ổn định của S