- Page 1 of 90. - “SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN XẢY RA CỦA ĐẲNG THỨC ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC”. - Page 2 of 90. - Page 3 of 90. - Page 4 of 90. - Bất đẳng thức CAUCHY – SCHWARZ. - Sử dụng điều kiện xảy ra của đẳng thức để chứng minh một số dạng bất đẳng thức. - Sử dụng điều kiện xảy ra của đẳng thức để chứng minh một số bất đẳng thức có điều kiện chứa căn thức………...32. - Sử dụng điều kiện xảy ra của đẳng thức để chứng minh một số bất đẳng thức có điều kiện dạng phân thức……….…41. - Sử dụng điều kiện xảy ra của đẳng thức để chứng minh một số bất đẳng thức dạng trung bình……….51. - Sử dụng điều kiện xảy ra của đẳng thức để chứng minh một số bất đẳng thức với điều kiện đẳng thức………64. - Sử dụng điều kiện xảy ra của đẳng thức để chứng minh một số bất đẳng thức với điều kiện chứa thứ tự.………...75. - Page 5 of 90. - Trong luận văn này, tác giả hay sử dụng bất đẳng thức quen thuộc AM-GM (bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân) sau:. - Chứng minh.. - Page 6 of 90. - Từ đó suy ra bất đẳng thức đúng với n 2 k . - Bất đẳng thức AM – GM sẽ được chứng minh nếu chúng ta chứng minh khẳng định sau đây:. - Nếu bất đẳng thức đúng với n k thì cũng đúng với n. - Page 7 of 90. - Nếu n = 1, n = 2 thì hiển nhiên bất đẳng thức đúng.. - Giả sử bất đẳng thức đúng với n. - k 2 , ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n. - Để chứng minh bất đẳng thức đúng khi n. - Page 8 of 90. - Bất đẳng thức đúng vì. - Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.. - Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b . - Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a. - Trong luận văn này, tác giả cũng hay sử dụng bất đẳng thức quen thuộc. - BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY - SCHWARZ.. - Page 9 of 90. - Từ đẳng thức. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2. - i 1, n thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.. - Cộng tất cả các bất đẳng thức ta thu được. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi k k k. - Từ đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:. - (1) Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có. - Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành. - Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, suy ra ta có điều phải chứng minh.. - Bất đẳng thức bên phải. - z w y Từ bất đẳng thức bên trái, nhận thấy. - Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz được. - Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với:. - Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:. - Mà ta có bất đẳng thức a b c 1 1 1 9. - Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có. - Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có A B , vì vậy. - Chứng minh. - Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:. - Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz a b i i. - Với i 1 sử dụng bất đẳng thức. - Cộng vế với các bất đẳng thức này ta được. - Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta nhận được:. - Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:. - Cộng 3 bất đẳng thức trên lại ta được:. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a. - Từ đó bất đẳng thức cần chứng minh có thể được viết lại thành.. - Bây giờ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được.. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a. - nên bất đẳng thức trên có thể được viết dưới dạng. - nên bất đẳng thức này tương đương với. - Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được:. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 x. - Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x. - Bất đẳng thức được viết lại dưới dạng:. - Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz kết hợp với bất đẳng thức AM. - Do bất đẳng thức đã cho là thuần nhất với a b c. - Bây giờ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được:. - Sau khi khai triển và rút gọn, ta được bất đẳng thức hiển nhiên đúng.. - SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN XẢY RA CỦA ĐẲNG THỨC ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC.. - SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN XẢY RA ĐẲNG THỨC ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN CHỨA CĂN THỨC. - Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:. - Cộng 3 bất đẳng thức trên lại, ta thu được kết quả:. - Nhận thấy, đẳng thức xảy ra khi . - Do đó, áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có. - Cộng 3 bất đẳng thức trên ta được. - Dễ dàng đoán được là đẳng thức xảy ra khi . - Cộng 3 bất đẳng thức trên ta thu được. - Nhận thấy, đẳng thức xảy ra khi. - Do đó, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được:. - Nhận thấy đẳng thức xảy ra khi 3 x. - Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được:. - Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có. - SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN XẢY RA ĐẲNG THỨC ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN DẠNG PHÂN THỨC. - Áp dụng bất đẳng thức. - Áp dụng bất đẳng thức AM - GM: x z 2 2 y t 2 2 2 xyzt. - Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được:. - Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có. - SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN XẢY RA ĐẲNG THỨC ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG TRUNG BÌNH. - Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = 1, c = 6. - Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có. - Ta xác định k, m , l từ đẳng thức:. - SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN XẢY RA ĐẲNG THỨC ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC VỚI ĐIỀU KIỆN ĐẲNG. - a 2 + b 2 + c 2 4 (a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) (2) Chứng minh. - SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN XẢY RA ĐẲNG THỨC ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC VỚI ĐIỀU KIỆN THỨ TỰ NhËn xÐt: Khi chøng minh f(a,b,c. - Phạm Kim Hùng (2007), “Sáng tạo bất đẳng thức”, NXB Hà Nội, Hà Nội.. - Phan Huy Khải bài toán chọn lọc về bất đẳng thức”, NXB Hà Nội, Hà Nội.