Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập rộng Hartey và ứng dụng

- −HOÀNG THỊ VÂN ANHPHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCHCHẬP SUY RỘNG HARTLEY VÀ ỨNG DỤNGChuyên ngành: Toán giải tíchMã số: 62460102LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌCNGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:PGS.
- NGUYỄN XUÂN THẢOHà Nội - 2016 LỜI CAM ĐOANTôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướngdẫn của PGS.TS.
- Các kết quả trong luận án là trung thựcvà chưa từng được công bố trong các công trình của các tác giả khác.Cán bộ hướng dẫn Tác giảPGS.TS.
- Nguyễn Xuân Thảo Hoàng Thị Vân Anh LỜI CẢM ƠNLuận án được nghiên cứu và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.
- TS.Nguyễn Xuân Thảo, người luôn quan tâm, động viên và chỉ dẫn tác giả trongnghiên cứu khoa học.
- Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và sự quýmến đối với thầy.Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các giáo sư, các thầy-cô vàcác đồng nghiệp trong seminar Giải tích - Đại số, Trường Đại học Khoa học Tựnhiên-ĐHQGHN, seminar Giải tích, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội.
- Nhữngý kiến của các giáo sư và các đồng nghiệp tham dự các semina này đã giúp tácgiả trưởng thành hơn trong nghiên cứu khoa học.
- là những kinh nghiệmquý báu để tác giả hoàn thành luận án một cách thuận lợi.Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban lãnh đạo, các thầycô, các đồng nghiệp của Viện Toán Ứng dụng và Tin học, các thầy cô trongBộ môn Toán cơ bản, Ban lãnh đạo và các anh chị công tác tại viện Sau đạihọc Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, Ban giám hiệu, các đồng nghiệp củaTrường Cao đẳng Công nghiệp Thực phẩm đã tạo một môi trường học tập,nghiên cứu sôi nổi, sự quan tâm và chỉ dẫn tận tình về các thủ tục, hồ sơ cũngnhư các điều kiện thuận lợi về công tác trong quá trình tác giả học tập, nghiêncứu và hoàn thành luận án này.Tác giả xin bày tỏ lòng ngưỡng mộ và biết ơn sâu sắc đến GS.
- VũKim Tuấn, trường Đại học West Georgia, Mỹ, người đã luôn có những chỉ dẫn,góp ý chân thành và sâu sắc trong quá trình nghiên cứu khoa học và hoànthành luận án của tác giả.Gia đình luôn là động lực to lớn đối với tác giả.
- Công sức và sự động viêncủa đại gia đình là những đóng góp thiêng liêng đã gián tiếp giúp tác giả vượtqua nhiều thử thách để hoàn thành luận án.
- Tác giả xin được bày tỏ lòng biếtơn đến bố mẹ, chồng, hai con trai và anh em hai bên nội - ngoại.Tác giả3 MỤC LỤCLỜI CAM ĐOAN.
- KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 231.1 Tích chập và tích chập suy rộng.
- 231.1.1 Một số tích chập đã biết.
- 231.1.2 Tích chập suy rộng.
- 281.2 Một số tính chất của biến đổi Hartley.
- 281.3 Bất đẳng thức tích chập.
- 301.3.1 Các bất đẳng thức tích phân trong không gian.
- 301.3.2 Bất đẳng thức tích chập.
- TÍCH CHẬP SUY RỘNG HARTLEY 372.1 Tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine.
- 372.1.2 Tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Hartley 452.1.3 Ứng dụng.
- 472.2 Tích chập suy rộng Hartley - Fourier cosine.
- BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG 723.1 Bất đẳng thức kiểu Hausdorff - Young.
- 723.2 Bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine.
- 753.3 Bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine.
- 883.4.1 Phương trình tích phân kiểu Toeplitz-Hankel.
- PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUYRỘNG HARTLEY 954.1 Các tính chất toán tử.
- 1004.1.3 Tính bị chặn của toán tử vi-tích phân.
- 1084.2.1 Phương trình vi-tích phân.
- 1124.2.3 Hệ phương trình vi-tích phân.
- 118KIẾN NGHỊ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO.
- Kí hiệu tích chập, tích chập suy rộng và phép biến đổi tích phânCác tích chập, tích chập suy rộng.
- ∗F·) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier.
- ∗L·) là tích chập đối với phép biến đổi Laplace.
- ∗Fc·) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosine.
- ∗Fs·) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier sine.
- ∗H12·) là tích chập, các tích chập suy rộng đối với các phépbiến đổi tích Hartley.
- ∗FsFc·) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Fourier sine vàFourier cosine.• (·γ∗FcFc·) là tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y.
- sin y đối với các phépbiến đổi Fourier sine và Fourier cosine.
- ∗FsFs·) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Fourier cosine vàsine.
- ∗HF·) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Hartley, Fourier.• (·∗1·) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Hartley, Fourier sine.• (·∗2·) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Hartley, Fourier cosine.Các phép biến đổi tích phân• Phép biến đổi cosine, phép biến đổi sine(Tcf)(y) :=1√2π∞Z−∞f(x) cos(xy) dx, y ∈ R,(Tsf)(y) :=1√2π∞Z−∞f(x) sin(xy) dx, y ∈ R.6 • Phép biến đổi Hartley(H1f)(y) =1√2π∞Z−∞f(x) cas(xy)dx,(H2f)(y) =1√2π∞Z−∞f(x) cas(−xy)dx,trong đó cas u.
- cos u + sin u là nhân của phép biến đổi tích phân Hartley.• Phép biến đổi Fourier(F f)(x) =1√2π∞Z−∞e−ixyf(y)dy, y ∈ R.• Phép biến đổi Fourier ngược(F−1g)(x) =1√2π∞Z−∞eixyg(y)dy, y ∈ R.• Phép biến đổi Fourier cosine(Fcf)(y) =r2π∞Z0f(x) cos(xy) dx, y ∈ R.
- Phép biến đổi Fourier cosine ngược(F−1cg)(x) =r2π∞Z0g(y) cos(xy) dy, y ∈ R.
- Phép biến đổi Fourier sine(Fsf)(y) =r2π∞Z0f(x) sin(xy) dx, y ∈ R+.−7.
- Phép biến đổi Fourier sine ngược(F−1sg)(x) =r2π∞Z0g(y) sin(xy) dy, y ∈ R.
- Th, T−1hlà phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley-Fouriercosine và phép biến đổi ngược của nó(Thf)(x) :=1 −d2dx2(h ∗2f)(x),f(x) =T−1hg(x) :=1 −d2dx2(h ∗2g)(x.
- Tk, T−1klà phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley-Fouriersine và phép biến đổi ngược của nó(Tkf)(x) :=1 −d2dx2(k ∗1f)(x),f(x) =T−1kg(x) :=1 −d2dx2(k ∗1g)(x).b.
- z) là hàm siêu bội suy rộng.−9− MỞ ĐẦU1.
- Tổng quan về hướng nghiên cứu và lí do chọn đề tàiPhép biến đổi tích phânPhép biến đổi tích phân ra đời rất sớm và có vai trò quan trọng trong lýthuyết cũng như trong ứng dụng đối với nhiều ngành khoa học, đặc biệt là cácngành Vật lý như: quang học, điện, cơ học lượng tử, xử lý âm thanh, xử lýảnh.
- Phép biến đổi tích phân đầu tiên được nghiên cứu xuất phát từ bài toánthực tế, khi Fourier J.
- nghiên cứu về quá trình truyền nhiệt, phép biến đổi nàycó dạng (xem [48])(F f)(x) =1√2π∞Z−∞e−ixyf(y)dy, y ∈ R, f ∈ L1(R).
- (0.1)Nếu như phép biến đổi tích phân Fourier ra đời nhằm mục đích giải quyếtvấn đề về bài toán truyền nhiệt, thì các phép biến đổi tích phân như Laplace,Mellin, Hankel.
- ra đời với mục đích nghiên cứu và giải quyết lớp phương trìnhvi tích phân hay phương trình đạo hàm riêng, các phương trình này xuất pháttừ những bài toán thực tiễn trong vật lý, cơ học, địa lý hay trong hải dươnghọc.Năm 1942, phép biến đổi tích phân Hartley đã được đề xuất như một thaythế cho phép biến đổi Fourier bởi tác giả Hartley R.V.L., nhằm giải quyết cácbài toán thực tế với những ưu điểm trong một số lĩnh vực như: xử lý tín hiệu,xử lý ảnh, xử lý âm thanh.
- Phép biến đổi Hartley của hàm f ∈ L1(R) đượctrình bày trong các tài liệu Bracewell R.N.
- [50], xác địnhbởi các công thức(H1f)(y) =1√2π∞Z−∞f(x) cas(xy)dx, (0.2)(H2f)(y) =1√2π∞Z−∞f(x) cas(−xy)dx, (0.3) trong đó cas u = cos u + sin u là nhân của phép biến đổi tích phân Hartley, vàhàm f(x) được xác định bởi các công thứcf(x) =1√2π∞Z−∞cas(±xy)(Hjf)(y)dy, j = 1, 2.
- (0.4)Nhận thấy rằng, phép biến đổi tích phân Hartley khá gần với phép biến đổitích phân Fourier (xem [13, 48.
- mối liên hệ giữa các phép biến đổi này nhưsau(H1f)(y.
- (0.7)So với phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Hartley có những ưu điểm là chophép ta biến đổi từ hàm thực sang hàm thực (trong khi đối với phép biến đổitích phân Fourier của một hàm thực lại là hàm phức), ngoài ra phép biến đổiHartley là đối xứng còn phép biến đổi Fourier thì không đối xứng.Trong thời gian gần đây, một số nghiên cứu mới về phép biến đổi tích phânHartley và ứng dụng, chẳng hạn như: Năm 2014 tác giả Bouzeffour F.
- nghiêncứu về phép biến đổi Hartley suy rộng trên L1α(R) và các ứng dụng liên quan,phép biến đổi này xác định như sau (xem [16])(Hαf)(λ) :=∞Z−∞f(x)Jα(λx) dx, ∀λ ∈ R, (0.8)trong đóJα(λx.
- nghiên cứu về phépbiến đổi tích phân Hartley và biến đổi ngược của nó trên nửa trục trong L2(R+)lần lượt xác định bởi (xem H+f)(x) :=r2π∞Z0[cos(xt.
- cos(xt)]f(t)tdt, x ∈ R+, (0.10)có biến đổi ngược làf(x) :=r2π∞Z0[cos(xt)C(xt.
- sin(xt)S(xt)](H+f)(t) dt, (0.11)trong đó S(xt), C(xt) có dạngS(xt) =r2π√xZ0sin(t2)dt, C(xt) =r2π√xZ0cos(t2)dt.Kết quả gần đây về phép biến đổi tích phân này tiếp tục được nghiên cứu năm2015 bởi tác giả Paraskevas I.
- và các cộng sự, nhận được bài toán phổ Whitenedvà các ứng dụng trong xử lý ảnh (xem [34]).Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập: Để nghiên cứu không gian tuyếntính, người ta thường đưa vào phép nhân chập hay còn gọi là tích chập, khi cốđịnh một hàm ta có một lớp biến đổi tích phân gọi là phép biến đổi tích phânkiểu tích chập.
- Có thể mô tả về phép biến đổi tích phân dạng này như sau;trong tích chập của hai hàm f và k, nếu cố định một hàm, chẳng hạn cố địnhk, như là nhân của nó, và cho hàm f biến thiên trong một không gian hàm xácđịnh, ta nhận được phép biến đổi tích phân kiểu tích chập có dạngf 7→ f ∗ k.
- (0.12)Phép biến đổi tích phân nổi tiếng nhất xây dựng theo cách trên là phép biếnđổi Watson, dựa vào tích chập Mellin và phép biến đổi Mellin (xem được xác định như sauf(x) 7→∞Z0k(xy)f(y)dy.
- (0.13)Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập có trọng đối với phép biến đổi tích phânFourier sine được nghiên cứu bởi tác giả Nguyễn Thanh Hồng năm 2008 (xem[46.
- phép biến đổi tích phân này xác định bởif(x) 7→1 −d2dx2n∞Z0f(y)[sign(x + y − 1)k1(|x + y − 1.
- (0.14)Trong thời gian gần đây, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập và các ứngdụng đã được nghiên cứu bởi các tác giả Britvina L.E., Luchko Y., Vũ KimTuấn, Yakubovich S.B.
- góp phần làm phong phú hơn về lý thuyết phép biếnđổi tích phân kiểu tích chập (xem Ngoài ra, việc nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng,có thể giải quyết những bài toán ứng dụng thực tế có nhiều ý nghĩa khoa học,chẳng hạn đối với những bài toán có nguồn thông tin dữ liệu đa dạng hơn (vìtrong đẳng thức nhân tử hóa của tích chập suy rộng được kết hợp bởi nhiềuphép biến đổi tích phân hơn).
- Tuy vậy, khoảng những năm 1990 trở lại đây,một số công trình nghiên cứu theo hướng này mới được đề cập đến, điển hìnhnhư:• Đối với phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng không có trọng:Năm 2000, các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fouriercosine, Fourier sine trong không gian hàm Lp(R.
- (0.16)Năm 2013, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosinevà Kontorovich-Lebedev được nghiên cứu bởi Nguyễn Thanh Hồng, TrịnhTuân và Nguyễn Xuân Thảo (xem [23.
- phép biến đổi tích phân này xácđịnh bởif(x) 7→ DhZR2+1u(e−ucosh(x+v)+ e−ucosh(x−v))h(u)f(v)dudvi.
- (0.17)• Đối với phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng có trọng: Năm2007, kết quả điển hình nghiên cứu về phép biến đổi này đối với tích chậpsuy rộng Fourier cosine và sine, được công bố bởi nhóm tác giả NguyễnXuân Thảo, Vũ Kim Tuấn và Nguyễn Thanh Hồng có dạng như sau (xem[44])f(x) 7→1 −d2dx2n∞Z0[f(|x + y −1.
- (0.18)Như vậy có thể thấy rằng, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập và tíchchập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Hartley cho đến nay chưa có nhiềunghiên cứu đề cập đến, mặc dù các ứng dụng của nó khá phong phú và xuấtphát từ những vấn đề khác nhau của các bài toán thực tế.
- Vì vậy, nghiên cứuvề phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley cũng như cấu trúctoán tử của nó là một mục đích của luận án.Tích chập và tích chập suy rộngMột trong những vấn đề quan trọng của phép biến đổi tích phân là nghiêncứu các tích chập, tích chập suy rộng và ứng dụng liên quan, chẳng hạn: Tínhtích phân, tính tổng của chuỗi, giải các bài toán Toán-Lý, phương trình vi phân,phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi-tích phân,−14− lý thuyết xác suất, xử lý ảnh, xử lý tín hiệu, kỹ thuật điện.
- Do đó, hướngnghiên cứu này đã được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm.Theo lịch sử phát triển thì các khái niệm về tích chập lần lượt được xuấthiện với những tên gọi khác nhau như tích chập (tích chập không có trọng vàtích chập có trọng), tích chập suy rộng và tiếp đến là đa chập.Khoảng cuối thế kỷ 19, tích chập đầu tiên được nghiên cứu là tích chập đốivới phép biến đổi tích phân Fourier.
- Những nghiên cứu về tích chập tiếp theođược lần lượt giới thiệu là tích chập đối với các phép biến đổi Laplace, Mellin,Hilbert, Hankel, Kontorovich-Lebedev và phép biến đổi Stieltjes.
- Về tích chậpđối với phép biến đổi tích phân Hartley, nghiên cứu gần đây được quan tâm làcủa nhóm tác giả Nguyễn Minh Tuấn năm 2009 (xem [18]).Đối với tích chập mà trong đẳng thức nhân tử hóa của nó có nhiều hơn mộtphép biến đổi tích phân được gọi là tích chập suy rộng.
- Khi đó, tích chập suyrộng được gọi tên theo thứ tự các phép biến đổi tích phân lần lượt xuất hiện.Tích chập suy rộng có trọng đầu tiên được nghiên cứu năm 1951 bởi tác giảSneddon I.N., đó là tích chập suy rộng có trọng đối với hai phép biến đổi tíchphân Fourier cosine và Fourier sine (xem [36, 37.
- Khoảng những năm 1990,một số tích chập suy rộng đối với phép biến đổi tích phân theo chỉ số đượcnghiên cứu bởi tác giả Yakubovich S.B.
- Nhưng cho đến năm1998, nghiên cứu của các tác giả Kakichev V.A.
- và Nguyễn Xuân Thảo lần đầutiên cho định nghĩa và đưa ra phương pháp kiến thiết tích chập suy rộng đốivới ba phép biến đổi tích phân bất kỳ với hàm trọng là γ, có đẳng thức nhântử hóa xác định bởi (xem [25])K1(fγ∗Kjg)(y.
- (0.19)Từ định nghĩa trên cho thấy, vế phải xuất hiện hai phép biến đổi tích phânkhác nhau do đó ứng dụng sẽ phong phú hơn (trong khi đối với tích chập thìđẳng thức nhân tử hóa chỉ có một phép biến đổi tích phân).
- Mặt khác, khi hoánđổi các phép biến đổi tích phân theo một trật tự nhất định sẽ nhận được cáctích chập suy rộng khác nhau nên những ứng dụng nhận được khá đa dạng.
- Vìvậy, hướng nghiên cứu này đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toánhọc trong và ngoài nước.
- Do đó, vấn đề xây dựng các tích chập suy rộng liênquan đến phép biến đổi Hartley và các ứng dụng của nó là một nội dung có ýnghĩa khoa học cần được tiếp tục nghiên cứu.Bất đẳng thức tích chập và tích chập suy rộng−15− Chúng ta biết rằng, những ưu điểm của tích chập và tích chập suy rộngtrong các ứng dụng là việc giải một số bài toán phương trình vi phân, phươngtrình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, các bài toán Toán-Lý.
- Việc giảicác bài toán đó thường nhận được nghiệm biểu diễn dưới dạng tích chập.
- Vìvậy, xây dựng các bất đẳng thức tích chập và các bất đẳng thức tích chập suyrộng để thuận tiện cho việc đánh giá ước lượng nghiệm là một hướng nghiêncứu được nhiều nhà toán học quan tâm.
- Những nghiên cứu về lĩnh vực này ởtrong và ngoài nước có thể thấy như sau:• Đối với tích chập Fourier:Một kết quả nổi tiếng là bất đẳng thức Young đối với tích chập Fouriercó dạng sau (xem Z−∞(f ∗Fg)(x.
- Trong các công trình [39, 40], các tác giả Saitoh S., VũKim Tuấn và Yamamoto M.
- xây dựng bất đẳng thức đối với tích chậpFourier trong không gian Lp(R, |ρ.
- Điển hình là kết quả nghiên cứu năm 2000 về bất đẳngthức Saitoh và bất đẳng thức Saitoh ngược đối với tích chập Fourier, cácbất đẳng thức này có dạng (xem [41, 42])k((F1ρ1) ∗F(F2ρ2))(ρ1∗Fρ2)1p−1kLp(R)6 kF1kLp(R,|ρ1|)·kF2kLp(R,|ρ2.
- p > 1, x ∈ R.Hơn nữa, nhóm nghiên cứu Nguyễn Dư Vĩ Nhân, Đinh Thanh Đức và VũKim Tuấn đã mở rộng bất đẳng thức ngược đối với tích chập Fourier sang−16−

Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn
hoặc xem Tóm tắt