Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập rộng Hartey và ứng dụng

- −HOÀNG THỊ VÂN ANHPHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCHCHẬP SUY RỘNG HARTLEY VÀ ỨNG DỤNGChuyên ngành: Toán giải tíchMã số: 62460102TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌCHà Nội - 2016 Công trình được hoàn thành tại:Trường Đại học Bách khoa Hà NộiCán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS.
- Tổng quan về hướng nghiên cứu và lí do chọn đề tàiPhép biến đổi tích phânPhép biến đổi tích phân ra đời rất sớm và có vai trò quan trọng trong lýthuyết cũng như trong ứng dụng đối với nhiều ngành khoa học, đặc biệt là cácngành Vật lý như: quang học, điện, cơ học lượng tử, xử lý âm thanh, xử lýảnh.
- Phép biến đổi tích phân đầu tiên được nghiên cứu xuất phát từ bài toánthực tế, khi Fourier J.
- nghiên cứu về quá trình truyền nhiệt, phép biến đổi nàycó dạng(F f)(x) =1√2π∞Z−∞e−ixyf(y)dy, y ∈ R, f ∈ L1(R).
- (1)Năm 1942, phép biến đổi tích phân Hartley đã được đề xuất bởi tác giảHartley R.V.L., nhằm giải quyết các bài toán thực tế với những ưu điểm trongmột số lĩnh vực như: xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, xử lý âm thanh.
- Phép biếnđổi Hartley của hàm f ∈ L1(R) được cho bởi các công thức sau(H1f)(y) =1√2π∞Z−∞f(x) cas(xy)dx, (2)(H2f)(y) =1√2π∞Z−∞f(x) cas(−xy)dx, (3)trong đó cas u = cos u + sin u là nhân của phép biến đổi tích phân Hartley.Trong thời gian gần đây, đã có nhiều nghiên cứu mới về phép biến đổi tíchphân Hartley và ứng dụng.
- nghiên cứu về phépbiến đổi Hartley suy rộng trên L1α(R) và các ứng dụng liên quan.
- nghiên cứu về phép biến đổi tích phânHartley và biến đổi ngược của nó trên nửa trục trong không gian L2(R+).Để nghiên cứu không gian tuyến tính, người ta thường đưa vào phép nhânchập hay còn gọi là tích chập, khi cố định một hàm ta có một lớp biến đổi tíchphân gọi là phép biến đổi tích phân kiểu tích chập.Việc nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng, có thể giảiquyết những bài toán ứng dụng thực tế có nhiều ý nghĩa khoa học, chẳng hạnđối với những bài toán có nguồn thông tin dữ liệu đa dạng hơn (vì trong đẳngthức nhân tử hóa của tích chập suy rộng được kết hợp bởi nhiều phép biến đổitích phân hơn).
- Tuy vậy, cho đến nay vẫn chưa có nhiều nghiên cứu về phépbiến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng, có thể kể tên những công trìnhnghiên cứu gần đây, chẳng hạn 2• Đối với phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng không có trọng:Năm 2000, các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fouriercosine, Fourier sine trong không gian hàm Lp(R.
- Năm 2013, phépbiến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine và Kontorovich-Lebedev được nghiên cứu bởi Nguyễn Thanh Hồng, Trịnh Tuân và NguyễnXuân Thảo.• Đối với phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng có hàm trọng:Năm 2007, kết quả điển hình nghiên cứu về phép biến đổi này đối vớitích chập suy rộng Fourier cosine và sine, được công bố bởi nhóm tác giảNguyễn Xuân Thảo, Vũ Kim Tuấn và Nguyễn Thanh Hồng.Như vậy có thể thấy rằng, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập và tíchchập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Hartley cho đến nay chưa có nhiềunghiên cứu đề cập đến, mặc dù các ứng dụng của nó khá phong phú và xuấtphát từ những vấn đề khác nhau của một sô bài toán thực tế.
- Vì vậy, nghiêncứu về phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley cũng như cấutrúc toán tử của nó là một mục đích của luận án.Tích chập và tích chập suy rộngTheo lịch sử phát triển thì các khái niệm về tích chập lần lượt được xuấthiện với những tên gọi khác nhau như: tích chập (không có trọng và có trọng),tích chập suy rộng và tiếp đến là đa chập.Đối với tích chập mà trong đẳng thức nhân tử hóa của nó có nhiều hơn mộtphép biến đổi tích phân được gọi là tích chập suy rộng.
- Khi đó, tích chập suyrộng được gọi tên theo thứ tự các phép biến đổi tích phân lần lượt xuất hiện.Cho đến nay có rất ít công trình nghiên cứu về tích chập suy rộng đối vớiphép biến đổi tích phân Hartley (có trọng và không có trọng), mặc dù hướngnghiên cứu này mang lại nhiều ứng dụng hữu ích.
- Do đó, vấn đề xây dựng cáctích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Hartley và các ứng dụng của nólà một nội dung có ý nghĩa khoa học và là mục đích nghiên cứu của luận án.Bất đẳng thức kiểu tích chập và tích chập suy rộngChúng ta biết rằng, những ưu điểm của tích chập và tích chập suy rộngtrong các ứng dụng là việc giải một số bài toán phương trình vi phân, phươngtrình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, các bài toán Toán-Lý.
- Việc giảicác bài toán đó thường nhận được nghiệm biểu diễn dưới dạng tích chập, vìvậy xây dựng các bất đẳng thức tích chập và các bất đẳng thức tích chập suyrộng để thuận tiện cho việc đánh giá ước lượng nghiệm là một hướng nghiêncứu được nhiều nhà toán học quan tâm.Những nghiên cứu về lĩnh vực này ở trong và ngoài nước có thể thấy như sau:• Đối với tích chập Fourier:Một kết quả nổi tiếng là bất đẳng thức Young đối với tích chập Fourier.Cũng trong năm 2000, các tác giả Saitoh S., Vũ Kim Tuấn, Yamamoto 3M.
- đã xây dựng một bất đẳng thức đối với tích chập Fourier trong khônggian Lp(R, ρ), p > 1 với hàm trọng ρ(x) và đưa ra một số ứng dụng.
- Hơnnữa, nhóm nghiên cứu Vũ Kim Tuấn, Đinh Thanh Đức và Nguyễn Dư VĩNhân đã mở rộng bất đẳng thức kiểu tích chập đối với tích chập Fouriersang nhiều chiều.
- Nhận được các bất đẳng thức Saitoh ngược trong khônggian R2, Rnvà một số ứng dụng.Ngoài ra, bất đẳng thức đối với tích chập Laplace cũng được tác giả VũKim Tuấn và các cộng sự nghiên cứu, nhận được bất đẳng thức ngược đốivới tích chập này và cho ứng dụng trong giải bài toán truyền nhiệt ngược.• Gần đây, nghiên cứu về bất đẳng thức đối với tích chập Fourier cosinecủa tác giả Nguyễn Thanh Hồng đã công bố năm 2010, nhận được các bấtđẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh và các ứng dụng.
- Đây là kết quả mớimở rộng sang tích chập khác, nhưng đối với bất đẳng thức ngược dạngnày vẫn chưa được nghiên cứu.Đối với bất đẳng thức tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Hartleynhư: bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh, kiểu Saitoh ngược, cho đến naychưa có công trình nào công bố, mặc dù các ứng dụng của nó có vai trò quantrọng khi nghiên cứu những vấn đề nảy sinh từ một số bài toán thực tiễn.
- Dođó, mục tiêu được quan tâm nghiên cứu là các bất đẳng thức tích chập suy rộngHartley và một số ứng dụng, đây cũng là một phần quan trọng trong mục đíchnghiên cứu của luận án.Một ứng dụng có ý nghĩa khoa học đối với hướng nghiên cứu này là việcgiải phương trình Toeplitz-Hankel tổng quát có dạngf(x) +∞Z0[k1(x + y.
- k2(x − y)]f(y)dy = g(x), x > 0, (4)trong đó g, k1, k2là những hàm đã biết, và f là ẩn hàm.Gần đây, sử dụng công cụ tích chập, một số lớp phương trình tích phânToeplitz-Hankel (4) trong trường hợp đặc biệt có thể giải được và cho nghiệmdưới dạng đóng.
- Cho đến nay, ngoại trừ một số trường hợp đặc biệt, bài toántìm nghiệm đóng cho phương trình (4) trong trường hợp tổng quát vẫn đang làbài toán mở.
- Do đó, mục tiêu đặt ra khi nghiên cứu các ứng dụng của Luận ánlà tiếp tục nghiên cứu những trường hợp đặc biệt của phương trình tích phânToeplitz-Hankel.Vì các lí do trên và để tiếp nối, phát triển hướng nghiên cứu này, chúng tôiđã định hướng vấn đề, mục tiêu cần nghiên cứu và lựa chọn đề tài cho Luậnán với tên gọi "Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley và ứngdụng".2.
- Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu• Mục đích: 4- Xây dựng một số tích chập suy rộng Hartley.
- Nghiên cứu các tính chấtcủa các tích chập suy rộng này và ứng dụng trong giải phương trình tíchphân Toeplitz-Hankel.- Nghiên cứu một số bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng Hartley,chẳng hạn như bất thức kiểu Hausdorff-Young, kiểu Young, kiểu Saitohvà các ứng dụng liên quan.- Xây dựng một số phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộngHartley, nghiên cứu các tính chất toán tử của các phép biến đổi tích phânnày trong các không gian hàm L2(R), Lp(R), với 1 6 p 6 2 và một số ứngdụng.• Đối tượng: Xây dựng các tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine, Hartley-Fourier sine.
- Nghiên cứu các vấn đề liên quan đến phép biến đổi tích phânkiểu tích chập suy rộng, các bất đẳng thức kiểu tích chập suy rộng và mộtsố ứng dụng.• Phạm vi nghiên cứu: Là các phép biến đổi tích phân, phép biến đổi tíchphân kiểu tích chập, kiểu tích chập suy rộng.
- các tích chập và các tíchchập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân Hartley, Fouriercosine, Fourier sine.
- các bất đẳng thức tích chập và tích chập suy rộng.3.
- Phương pháp nghiên cứuTrong Luận án này, đã sử dụng các phương pháp liên quan đến lý thuyết giảitích hàm, phương pháp tích chập và tích chập suy rộng để xây dựng, nghiên cứucác tích chập suy rộng mới, chứng minh sự tồn tại của các tích chập suy rộngnày cũng như tính bị chặn của chúng.
- Ngoài ra, còn sử dụng phương pháp biếnđổi tích phân để đánh giá và đưa ra các tính chất toán tử của những kết quảnghiên cứu mới, nhằm mục đích giải một số phương trình tích phân với nhânToeplitz-Hankel, phương trình và hệ phương trình tích phân, phương trình vàhệ phương trình vi-tích phân.
- Sử dụng phương pháp đánh giá bất đẳng thứctích phân trong không gian để chứng minh các bất đẳng thức tích phân đối vớitích chập suy rộng và xây dựng các đánh giá nghiệm.4.
- Ngoài phần mở đầu và tài liệutham khảo, luận gồm bốn chương:Chương 1: Nhắc lại những kiến thức liên quan đến hướng nghiên cứu.Chương 2 : Xây dựng các tích chập suy rộng Hartley mới là tích chập suyrộng Hartley-Fourier cosine, Hartley-Fourier sine, Hartley-Fourier, Hartley H1và H2.
- Chứng minh các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức Parseval, định lýkiểu Titchmarch.
- Áp dụng giải một lớp phương trình và hệ phương trình tíchphân, phương trình và hệ phương trình tích phân Toeplitz-Hankel.Chương 3: Nghiên cứu một số bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley như 5bất đẳng thức kiểu Hausdorff-Young, kiểu Young, kiểu Saitoh và kiểu Saitohngược.
- Áp dụng những kết quả đạt được đánh giá nghiệm của phương trình tíchphân kiểu Toeplitz-Hankel, phương trình vi phân và một số bài toán Toán-Lý.Chương 4 : Xây dựng các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộngHartley.
- Chứng minh định lý kiểu Watson, thiết lập điều kiện cần và đủ cho tínhunita của các phép biến đổi tích phân mới xây dựng trong không gian L2(R).Nhận được định lý Plancherel, định lý về tính bị chặn của toán tử vi-tích phân,cho minh hoạ về sự tồn tại của các phép biến đổi tích phân trên bằng một sốví dụ cụ thể.
- Vận dụng kết quả mới nhận được cho việc tìm nghiệm của mộtlớp phương trình và hệ phương trình vi-tích phân, phương trình parabolic mộtchiều.5.
- Ý nghĩa các kết quả đạt được trong Luận ánCác kết quả nghiên cứu nhận được là mới, có ý nghĩa khoa học trong lĩnhvực phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng, góp phần làm phong phúthêm lý thuyết tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân, bất đẳngthức tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Hartley, Fouriercosine, Fourier sine.
- Các kết quả này cho ứng dụng trong việc tìm nghiệm đóngcủa một lớp các phương trình và hệ phương trình tích phân Toeplitz-Hankel,phương trình và hệ phương trình vi-tích phân, nhận được các biểu diễn và đánhgiá nghiệm trong một số bài toán Toán-Lý.
- Các kết quả và ý tưởng của luận áncó thể sử dụng trong nghiên cứu các tích chập suy rộng đối với các phép biếnđổi tích phân khác, và nghiên cứu bài toán quang phổ, xử lý ảnh.Nội dung chính của Luận án dựa trên bốn công trình nghiên cứu được liệtkê ở "Danh mục các công trình đã công bố của Luận án".
- Các kết quả này đã được báo cáo toàn bộhay từng phần tại các Hội nghị khoa học và các Seminar sau:• Các hội nghị khoa học:- Hội nghị Quốc tế Giải tích phức hữu hạn và vô hạn chiều và ứng dụng(ICFIDCAA), tháng 7 năm 2012 tại Hà Nội.- Hội nghị toán học Việt Pháp lần thứ 8, tháng 8 năm 2012 tại Huế.- Đại hội Toán học Toàn quốc lần thứ 8, tháng 8 năm 2013 tại Nha trang.- Hội nghị Toán học Quốc tế lần thứ III, tháng 12 năm 2013 tại Thànhphố Hồ Chí Minh.• Các seminar:- Seminar Giải tích và Đại số, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên-Đạihọc Quốc gia Hà Nội.- Seminar Giải tích, trường Đại học Bách khoa Hà Nội.
- 6Chương 1KIẾN THỨC CHUẨN BỊTrong chương này, nhắc lại những kiến thức đã biết được sử dụng cho nghiêncứu của luận án như:• Trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản về tích chập và tích chập suyrộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân, cũng như quá trình pháttriển của hướng nghiên cứu.• Nhắc lại một số định lý liên quan đến các kết quả nghiên cứu trong luậnán, chẳng hạn là Định lý Wiener-Lévy, Định lý nội suy Riesz.• Nhắc lại một số bất đẳng thức tích phân đã biết, các định lý về bất đẳngthức đối với tích chập liên quan đến hướng nghiên cứu của luận án.Các bất đẳng thức quan trọng được sử dụng trong chứng minh một sốkết quả nghiên cứu và ứng dụng của luận án là bất đẳng thức H¨older vàbất đẳng thức H¨older ngược sau đâyĐịnh lý 1.0.1 (Bất đẳng thức H¨older).
- (1.1)Hay ta có: kfgkL1(X)6 kfkLp(X)· kgkLq(X).Định lý 1.0.2 (Bất đẳng thức H¨older ngược).
- p−1pq−1qt−1pq(1 − t)1 − t1p1p1 − t1q1q.• Nhắc lại các hàm đặc biệt được sử dụng trong nghiên cứu.
- 7Chương 2TÍCH CHẬP SUY RỘNG HARTLEYMục đích của chương này là xây dựng và nghiên cứu các tích chập suy rộngHartley mới như: Hartley-Fourier sine, Hartley-Fourier cosine.
- Nghiên cứu cáctính chất tương ứng của nó, chẳng hạn như các đẳng thức nhân tử hóa, đẳngthức Parseval, định lý Titchmarch.
- Trong phần ứng dụng sẽ xây dựng và giảimột số phương trình và hệ phương trình tích phân Toeplitz-Hankel.Nội dung chính của chương này là kết quả của các bài báo [1, 2] trong "Danhmục các công trình đã công bố của Luận án".2.1 Tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine2.1.1 Định nghĩa và các tính chấtĐịnh nghĩa 2.1.1.
- Tích chập suy rộng của hai hàm f và g đối với các phépbiến đổi tích phân Hartley, Fourier sine ký hiệu là (f ∗1g) được định nghĩa bởicông thức(f ∗1g)(x) :=1√2π∞Z0f(u)[g(x − u.
- (2.1)Định lý 2.1.1.
- Giả sử f ∈ L1(R+) và g ∈ L1(R).
- Khi đó, tích chập suy rộngHartley–Fourier sine (2.1) thuộc không gian L1(R) ∩C0(R) và có các đẳng thứcnhân tử hóa sau luôn đúng.H1(f ∗1g)(y.
- Hơn thế, ta nhận được bất đẳng thứck(f ∗1g)kL1(R)6 kfkL1(R.
- (H1g)(y) cas(−xy)dy, (2.5) 8tích phân trong các đẳng thức Parseval trên được hiểu là giá trị chính Cauchy∞Z−∞f(x) dx = limN→∞ZN−Nf(x) dx.Định lý 2.1.2.
- Khi đó tích chập suy rộng (2.1.1)tồn tại với mọi x ∈ R trong không gian Lα,β,γr(R), α > −1, β > 0, γ > 0, r > 1thỏa mãn bất đẳng thức sauk(f ∗1g)(x)kLα,β,γr(R)621q√2π2γ−1β−α+1γΓα + 1γ1rkfkLp(R+)·kgkLq(R), (2.6)Bổ đề 2.1.1.
- 0hầu khắp nơi.Định lý 2.1.3 (Định lý kiểu Titchmarch).
- 0, ∀x ∈ R.2.1.2 Tích chập suy rộng liên quan đến biến đổi HartleyĐịnh nghĩa 2.1.2.
- Tích chập suy rộng của hai hàm f và g đối với các phépbiến đổi tích phân Hartley, Fourier ký hiệu là (f ∗HFg), xác định bởi công thức(f ∗HFg)(x) =12√2π∞Z−∞g(y)[f(x + y.
- (2.7)Định lý 2.1.4.
- Khi đó, tích chập suy rộngHartley-Fourier (2.7) thuộc không gian L1(R) và thỏa mãn các đẳng thức nhântử hóa sauH1(f ∗HFg)(y.
- Các tích chập suy rộng của hai hàm f và g đối với cácphép biến đổi tích phân Hartley H1, H2tương ứng ký hiệu là f ∗H11g và f ∗H12glần lượt xác định bởi(f ∗H11g)(x) =12√2π∞Z−∞f(t)[g(x + t.
- (2.10) 9Định lý sau đây cho phép ta xác định được các đẳng thức nhân tử hóa của haitích chập suy rộng này.Định lý 2.1.5.
- Khi đó, các tích chập suy rộng(2.9) và (2.10), thuộc không gian L1(R), và thỏa mãn các đẳng thức nhân tửhóa sauH1(f ∗H11g)(y.
- Phương trình tích phâna) Phương trình tích phân loại mộtXét phương trình tích phân1√2π∞Z0f(u)[k(x − u.
- Khi đó,(H1h)(y)(H2k)(y)cũng làmột hàm lẻ.Định lý 2.1.6.
- L1(R).Khi đó, nghiệm duy nhất f ∈ L1(R+) của phương trình tích phân (2.13) đượcxác định bởi công thứcf(x.
- (2.14) 10b) Phương trình tích phân loại haiXét phương trình tích phân có dạngf(|x|) sign x +1√2π∞Z0[k(x − y.
- Khi đó,(H1h)(y)1 + (H2k)(y)cũng là một hàm lẻ.Định lý 2.1.7.
- Khi đó tồn tại hàm p ∈ L1(R)thỏa mãn(F p)(y) =(H2k)(y)1 + (H2k)(y), (2.17)và phương trình tích phân (2.15) có nghiệm duy nhất trong không gian L1(R),xác định bởi công thứcf(|x.
- (2.18)Từ Định lý 2.1.7, ta nhận được hệ quả sauHệ quả 2.1.1.
- Với giả thiết tương tự định lý 2.1.7 và p là hàm thỏa mãn côngthức (2.17).
- Hệ phương trình tích phânTrong phần này, ta xét hệ phương trình sauf(x.
- q(x), x ∈ R+.(2.21)Định lý 2.1.8.
- (2.23)Khi đó, hệ phương trình (2.21) có nghiệm duy nhất (f, g.
- [(k ∗H11p) ∗HFl(−t)](x), ∀x ∈ R+.2.2 Tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine2.2.1 Định nghĩa và các tính chất toán tửĐịnh nghĩa 2.2.1.
- Tích chập suy rộng của hai hàm f ∈ L1(R+) và g ∈ L1(R)đối với các phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier cosine ký hiệu là (f ∗2g)được định nghĩa bởi(f ∗2g)(x) :=1√2π∞Z0[g(x + u.
- g(x − u)] f (u) du, x ∈ R, (2.24)Định lý 2.2.1.
- Tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine (2.24) của các hàmf ∈ L1(R.
- Hơn thế, ta có bất đẳng thứck(f ∗2g)kL1(R)6r2πkfkL1(R.
- (2.27)tích phân trong công thức (2.27) được hiểu là giá trị chính Cauchy như sau∞Z−∞f(x) dx = limN→∞ZN−Nf(x) dx.Từ bất đẳng thức (2.26), ta nhận được bất đẳng thức đúng trong không gianLα,β,γr(R) với α > −1, β > 0, γ > 0, r > 1.Định lý 2.2.2 (Định lý kiểu Titchmarch).
- Khi đó các phéptoán của các tích chập suy rộng (2.1) và (2.24) là không có tính giao hoán vàcũng không kết hợp, tuy nhiên chúng thỏa mãn các đẳng thức saua) f ∗1(g ∗1h.
- (f ∗FsFcg) ∗1h.2.2.2 Ứng dụngTrong phần này ta xét phương trình Toeplitz-Hankel (4), đối với trường hợpnhân k1= k2, đây cũng là phương trình Toeplitz- Hankel lần đầu tiên được xéttrên toàn trực thực.Xét các phương trìnhf(|x|) +1√2π∞Z0[k(x + y.
- (2.29)Định lý 2.2.3 (Định lý kiểu Wiener-Lévy).
- Giả sử f ∈ L1(R).
- Phương trình Toeplitz-Hankel trên RĐịnh lý 2.2.4.
- (2.31)Khi đó, phương trình (2.28) có nghiệm duy nhất f ∈ L1(R.
- (g ∗Hl)(x), x ∈ R+.Định lý 2.2.5.
- (2.32)Khi đó phương trình (2.29) có nghiệm duy nhất f ∈ L1(R+) xác định bởif(x.
- Hệ phương trình Toeplitz - Hankel trên RTa xét hệ gồm hai phương trình tích phân Toeplitz - Hankel f(|x|) +1√2π∞Z0g(u)[k1(x + u.
- k2(x −u)]du = q(x), x ∈ R,(2.34)trong đó p, q, k1, k2∈ L1(R) là các hàm đã biết, f, g ∈ L1(R+) là các ẩn hàm.Định lý 2.2.6.
- (H1k2)(y) 6= 0, ∀y ∈ L1(R), (2.35)và các hàm sau là những hàm chẵnp(x.
- (2.36)Khi đó hệ phương trình (2.34) có nghiệm duy nhất f, g ∈ L1(R) được xác địnhbởi công thức sauf(x.
- (2.37)Kết luận chương 2Chương này đã đạt được một số kết quả sau:• Xây dựng một số tích chập suy rộng mới Hartley-Fourier sine (f ∗1g),Hartley-Fourier cosine (f ∗2g), Hartley-Fourier (f ∗HFg) và các tích chậpsuy rộng Hartley (f ∗H11g), (f ∗H12g.
- Chứng minh các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức Parseval, tính khôngcó ước của không như định lý kiểu Titchmarch.
- của các tích chập suyrộng Hartley-Fourier sine, Hartley-Fourier cosine.• Nhận được định lý kiểu Wiener-Lévy đối với phép biến đổi tích phânHartley.• Trong phần ứng dụng xây dựng và giải một số lớp phương trình và hệphương trình tích phân thuộc lớp phương trình Fredholm, phương trìnhvà hệ phương trình tích phân Toeplitz-Hankel.

Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn
hoặc xem Tóm tắt