- Bài toán là một bài toán cơ bản của giải tích phức, nó có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. - Bài toán trong và đánh giá nghiệm. - Bài toán trong n ( n 1) và đánh giá nghiệm. - Trong chương này, tác giả dùng biểu diễn tích phân để giải bài toán trong n cho một số trường hợp: vế phải là dạng khả vi liên tục đến cấp k và có giá compact, bài toán trong đa đĩa cho dạng vi phân f C p q. - loc ) khi là một miền giả lồi trong n (n >. - BÀI TOÁN TRONG VÀ ĐÁNH GIÁ NGHIỆM. - 1.1 Bài toán trong. - 1.2 Đánh giá nghiệm của bài toán trong. - BÀI TOÁN TRONG n VÀ ĐÁNH GIÁ NGHIỆM. - 2.1 Bài toán trong n. - 2.2 Bài toán trong miền giả lồi trong n ( n 1. - 38 2.2.4 Bài toán trong miền giả lồi trong n và đánh giá. - BÀI TOÁN TRONG VÀ ĐÁNH GIÁ NGHIỆM 1.1 Bài toán trong. - Giả thiết là một tập mở trong mà ta đồng nhất. - Cho u là một hàm biến phức xác định trong. - Giả thiết là một tập mở trong. - u là một hàm biến phức xác định trong và u C 1. - Giả thiết là một tập mở, bị chặn trong có biên. - ta có:. - ta có. - nên ta có:. - Áp dụng (1.1) ta có. - z ta có. - với U là một tập mở trong chứa V. - Và trong V : f 1 f , f 2 0 nên suy ra. - Cho là một tập mở trong. - K là một tập con compact trong. - sao cho j 1 trong K j. - j 2 , khi đó j 0 trong K j 1. - và vì j 0 trong K j 1 nên u j là một hàm chỉnh hình trong K j 1. - Theo định lý Runge, với mỗi u j là một hàm chỉnh hình trong K j 1. - sao cho u j v j 2 j trong K j 1 . - 1.2 Đánh giá nghiệm của bài toán trong 1.2.1 Không gian L p. - Giả thiết là một miền trong. - là một hàm liên tục trong. - Cho là một miền bị chặn trong và a. - Cho là một miền trong. - Ta có: u e d u e. - thì ta có u. - thì ta có 1. - của bài toán u. - f nên ta có. - của bài toán u z f. - Bài toán: Cho là một miền trong. - là một hàm điều hòa dưới trong. - Với là một hàm điều hòa dưới thì. - Nhận xét: định lý 1.2.15 cho ta một đánh giá nghiệm của bài toán trong. - là một hàm điều hòa dưới trong và giả thiết diam. - Với u là một nghiệm của bài toán 1.2.16 và N z. - 0 ta có. - Theo mệnh đề 1.2.9 ta có. - 2 ta có. - BÀI TOÁN TRONG n VÀ ĐÁNH GIÁ NGHIỆM 2.1 Bài toán trong n. - Giả thiết là một tập mở trong n . - Giả thiết là một tập mở trong n , u là hàm biến phức xác định trong và u C 1. - Giả thiết D là một đa đĩa mở trong n và u là hàm biến phức chỉnh hình theo các biến tách biệt z j. - Cho là một tập mở trong n , xét bài phương trình. - (Bài toán với hàm f C 0 k. - Với j 1 , từ (2.5) ta có. - Cho D là một đa đĩa mở trong n ( n 1 ) và f C p q. - ta có ' IJ. - Từ ta có. - Giả thiết là một miền lồi trong n . - s là hàm chình hình trong (2.18) Nhận xét. - là một miền lồi thì tồn tại một hàm lồi. - Ta có. - là một hàm chỉnh hình trong. - Khi đó: với q 0 ta có. - với q 0 ta có. - Vì vậy ba tích phân đầu trong (2.26) hội tụ đều khi. - s là một hàm chỉnh hình trong. - 2.2 Bài toán trong miền giả lồi trong n ( n 1). - Cho E, F là hai không gian Hilbert, A D : A F là một toán tử tuyến tính, với miền xác định D là không gian con của E. - Cho E, F là hai không gian Hilbert, A D : A F là một toán tử tuyến tính xác định trù mật từ E vào F. - Cho E, F là hai không gian Hilbert , A D : A F là một toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật tử E vào F. - z là một hàm liên tục bất kỳ trong n và. - Cho là tập mở, giả lồi trong n , K là một tập con compact của và V là một lân cận mở của K. - Cho là một tập mở trong n. - là một hàm liên tục trên. - là một không gian Hilbert. - D A ta có. - Vậy ta có. - Cho là một tập mở trong n và. - 1 là một dãy trong. - A, B là các toán tử được định nghĩa trong 2.2.11. - Bài toán cho miền giả lồi trong n và đánh giá nghiệm Định lý 2.2.14. - Cho là một miền giả lồi trong n . - Cho là một tập mở trong n . - 1 là một dãy trong D. - là một dãy trong D. - u , do là một hàm không âm, lồi, tăng. - nên ta có. - Cho là một miền giả lồi trong n và là hàm đa điều hòa dưới chặt thuộc lớp C 2. - là một hàm dương thỏa mãn. - Cho là một miền giả lồi trong n nên theo mệnh đề 2.2.10 có hàm đa điều hòa dưới chặt u C. - Xác định hàm v(t) như trong (2.36), hàm. - z ta có. - Từ u t j f và u e d 2. - Dùng biểu diễn tích phân để đưa lời giải bài toán cho bài toán trong với hai trường hợp: vế phải có giá compact và vế phải khả vi vô hạn. - Cho lời giải bài toán trong n với bốn trường hợp: vế phải có giá compact, bài toán trong đa đĩa, bài toán trong miền lồi và bài toán trong miền giả lồi.. - Đưa ra được hai đánh giá về nghiệm của bài toán trong L p. - Đưa ra một kết quả đánh giá về nghiệm của bài toán trong miền giả lồi trong n ( n 1)