- ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN TÔPÔ TỔNG QUÁT. - Cho không gian tôpô (X. - Tập hợp trù mật, không gian khả ly:. - a) Trong không gian tôpô X, t ập con A của X được gọi là trù mật trong X nếu A = X.. - b) Không gian tôpô (X. - Không gian T 1 , T 2 và không gian chu ẩn tắc:. - Không gian tôpô t ổng, tích, thương:. - I là họ các không gian tôpô.. - là không gian tôpô t ổng của họ không gian tôpô đ ã cho, ký hiệu X=. - liên tục (định nghĩa ánh xạ liên tục sẽ được trình bày sau trong chương này). - gọi là không gian tôpô tích của họ không gian đ ã cho.. - c) Không gian thương:. - Cho hai không gian tôpô (X, τ X. - liên tục.. - (Y, τ Y ) là hai không gian tôpô. - W f liên t ục lại x. - Y )-liên tục.. - Ví dụ 1.1: Cho X là không gian tôpô rời rạc, Y là không gian tôpô tùy ý. - Định lý 1.2.4: Cho ba không gian tôpô (X, τ X. - h liên tục. - Bổ đề Urysohn: Cho X là một không gian chuẩn tắc. - α I là họ các không gian tôpô. - o f liên tục. - o f liên tục). - Định lý 1.2.10: Cho không gian tôpô (X. - Định nghĩa 1.3.1: Cho hai không gian tôpô X và Y. - Ví dụ 1.3.1: Ánh xạ đồng nhất từ không gian tôpô X v ào chính nó là một phép đồng phôi.. - Ta đ ã bi ế t r ằng nếu ánh xạ f: X Y liên t ục th ì ánh x ạ thu hẹp của f trên không gian con M c ủa X ( f | M : M Y) c ũng li ên t ục. - Định lý 1.4.2: Gi ả sử M l à không gian con trù m ật của X, f: M Y là ánh x ạ li ên t ục, Y là không gian Hausdorff. - Cho f là toàn ánh t ừ tập X v ào không gian tôpô (Y. - f liên t ục.. - Y ) liên t ục. - V ậy, Y l à không gian kh ả ly. - Cho f, g : X Y là các ánh x ạ li ên t ục v à Y là không gian Hausdorff. - Gi ả sử X l à m ột không gian tôpô, f và g là các ánh x ạ li ên t ục từ X v ào R (v ới tôpô thông thường). - Do R là không gian Hau sdorff nên theo bài 5 thì A = {x X: f(x. - Y )-liên t ục.. - X )-liên t ục n ên (f -1 ) -1 (f -1 (W. - liên t ục. - X )-liên t ục. - X )-liên t ục . - Y )-liên t ục v à Y. - Cho toàn ánh liên t ục f t ừ không gian tôpô X v ào không gian tôpô Y. - G ọi f : X/R Y là ánh x ạ t ừ không gian thương X/R vào Y cho bởi f ( x. - Theo định nghĩa tôpô trên không gian thương th ì π 1 (G) là t ập mở trong X. - ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN TÔPÔ COMPACT VÀ KHÔNG GIAN TÔPÔ LIÊN THÔNG. - Không gian tôpô compact:. - Trên không gian tôpô X, cho A X và { G. - T ập con đóng của một không gian compact l à t ập compact.. - T ập con compact c ủa một không gian Hausdorff l à t ập đóng.. - 2.Không gian tôpô liên thông:. - Ánh xạ liên tục trên không gian compact. - Định lý 2.1.2: Ánh x ạ li ên t ục f t ừ không gian compact X v ào không gian Hausdorff Y là ánh x ạ đóng.. - Hệ quả 2.1.1: Gi ả sử f là song ánh liên t ục từ không gian compact X v ào không gian Hausdorff Y thì f là phép đồng phôi.. - 1 ) là không gian compact, (X. - 2 ) là không gian Hausdorff thì 1. - 2 ) là song ánh liên t ục từ không gian compact (X. - 1 ) vào không gian Hausdorff (X. - Định lý 2.1.3: Gi ả sử f là m ột h àm liên t ục từ không gian compact X v ào t ập số thực R. - Vì X compact và R là không gian Hausdorff nên f là ánh x ạ đóng. - Ánh xạ liên tục trên không gian liên thông.. - Định lý 2.2.2: Giả sử f: X R là hàm liên tục trên không gian liên thông X và a, b. - Cho f là hàm th ực li ên t ục tr ên không gian compact X. - Gi ả sử f: X R liên t ục tr ên không gian compact X và f(x) >. - Gi ả sử tồn tại to àn ánh liên t ục f: X Y, v ới Y l à không gian r ời rạc có ít nhất hai ph ần tử. - Goi Y là không gian r ời rạc gồm hai phần tử a, b. - ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN MÊTRÍC. - a) T rong không gian mêtric (X, d), xét đi ểm x v à t ập A X. - a) Cho (X, d) là không gian mêtric. - Cho (X, d) là không gian metric. - Không gian mêtric đầy đủ:. - T ập con đóng của một không gian metric đầy đủ l à đầy đủ.. - Không gian metric compact:. - Cho (X, d) là không gian metric.. - Cho không gian metric (X, d) và t ập A X. - T ập con compact của một không gian metric l à đóng và đầy đủ.. - Không gian metric compact là kh ả li.. - Cho hai không gian mêtríc (X, d 1 ) và (Y, d 2. - Do đó, mọi không gian mêtríc đều đẳng cự với chính nó.. - 0 (do g liên t ục đều. - f liên t ục đều.. - Cho X, Y, Z là các không gian metric và f: X Y, g: Y Z là các ánh x ạ li ên t ục. - Cho X là m ột không gian m êtric compact và ánh x ạ f : X X th ỏa m ãn d(f(x), f(y. - liên t ục tr ên X. - Cho f là ánh x ạ li ên t ục từ không gian m êtric X vào không gian mêtric Y.. - Do đó, f -1 liên t ục.. - X 1 liên t ục. - Cho (X, d 1 ) và (Y, d 2 ) là các không gian mêtríc và f: X Y là ánh x ạ li ên t ục.. - Cho (X, d 1 ) và (Y, d 2 ) là các không gian mêtríc . - Gi ả sử f là song ánh liên t ục từ không gian m êtríc compact X vào không gian mêtríc Y. - Vì m ọi không gian mêtric đều l à không gian Hausdorff, nên theo h ệ quả 2.2.1 th ì f là phép đồng phôi, do đó f -1 liên t ục tr ên Y.. - Rõ ràng f là song ánh liên t ục từ không gian m êtric (0, 1. - G ọi f là ánh x ạ li ên t ục từ không gian m êtríc compact X vào không gian mêtríc Y. - G ọi (X, d) l à không gian mêtríc và A là t ập con khác rỗng của X. - Gi ả sử f là ánh x ạ li ên t ục của không gian m êtríc liên thông X vào không gian mêtríc Y. - Kí hi ệu F l à h ọ các hàm liên t ục từ không gian mêtríc compact X (v ới m êtríc d) vào t ập số thực R sao cho v ới mỗi x X, t ồn tại M x >. - Cho (X, d) là không gian mêtric và v ới x X, xác định ρ( x. - Vì m ọi không gian metric đều l à không gian chu ẩn tắc n ên theo b ổ đề Urysohn, t ồn tại h àm liên t ục f: X R sao cho f(x. - Ch ứng minh rằng không gian m êtríc X là compact n ếu v à ch ỉ nếu mọi h àm th ực liên t ục tr ên X là liên t ục đều v à. - Gi ả sử không gian m êtríc X là compact
Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn hoặc xem
Tóm tắt