Phương pháp hàm Lyapunov và ứng dụng của nó trong phương trình vi phân hàm và phương trình sai phân

- Ph-¬ng ph¸p hµm Lyapunov cho ph-¬ng tr×nh vi ph©n hµm 1.
- Ph-¬ng ph¸p hµm Lyapunov cho ph-¬ng tr×nh vi ph©n hµm.
- C¸c ®Þnh lý vÒ sù æn ®Þnh nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n hµm.
- Ph-¬ng tr×nh sai ph©n.
- Ph-¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh.
- HÖ ph-¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt.
- Ph-¬ng tr×nh ®éng lùc trªn thang thêi gian.
- C¸c kÕt qu¶ vÒ tÝnh æn ®Þnh.
- ®Þnh nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh ®éng lùc trªn thang thêi gian.
- Y (t, η(t)) nªn ta nhËn ®-îc ph-¬ng tr×nh vi ph©n ®èi víi x.
- NghiÖm tÇm th-êng x = 0 cña hÖ (1.1.3) ®-îc gäi lµ æn ®Þnh.
- NghiÖm tÇm th-êng x = 0 cña hÖ (1.1.3) ®-îc gäi lµ æn ®Þnh tiÖm cËn («®tc) theo Lyapunov khi t.
- NghiÖm tÇm th-êng x = 0 cña hÖ (1.1.3) ®-îc gäi lµ æn ®Þnh mò khi t.
- nghiÖm tÇm th-êng x(t.
- XÐt tÝnh æn ®Þnh cña nghiÖm tÇm th-êng cña hÖ.
- cho lµ æn ®Þnh..
- XÐt tÝnh æn ®Þnh cña nghiÖm tÇm th-êng ®èi víi hÖ.
- cho lµ æn ®Þnh tiÖm cËn..
- C tx (1,1) (Z 0 ) cã giíi h¹n v« cïng bÐ khi x → 0 vµ cã ®¹o hµm V ˙ (t, x) theo hÖ ph-¬ng tr×nh lµ x¸c ®Þnh dÊu.
- XÐt ph-¬ng tr×nh vi ph©n.
- Khi ®ã tÝnh æn ®Þnh cña nghiÖm tÇm th-êng cña ph-¬ng tr×nh.
- 0 (1.1.10) kÐo theo tÝnh æn ®Þnh t-¬ng øng cña nghiÖm tÇm th-êng cña ph-¬ng tr×nh (1.1.9) VÝ dô 1.1.4.
- XÐt hÖ hai ph-¬ng tr×nh.
- C¸c hµm g(t, u) lµ kh«ng gi¶m theo u vµ nghiÖm tÇm th-êng cña ph-¬ng tr×nh.
- Khi ®ã, ph-¬ng tr×nh (1.2.12) cã nghiÖm tÇm th-êng x ≡ 0.
- (gi¶i b»ng ph-¬ng ph¸p Laplace) XÐt ph-¬ng tr×nh vi ph©n cã chËm:.
- (ph-¬ng ph¸p tõng b-íc) XÐt ph-¬ng tr×nh vi ph©n cã chËm sau:.
- cña ph-ng tr×nh vi ph©n trªn ®o¹n [0,3]..
- NghiÖm cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n trªn cã d¹ng:.
- Nh- v©y, nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh trªn [0,3] lµ.
- Ta ®Þnh nghÜa sù æn ®Þnh cña nghiÖm tÇm th-êng cña (1.2.12)..
- NghiÖm tÇm th-êng x = 0 cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n (1.2.12).
- NghiÖm tÇm th-êng x = 0 cña ph-¬ng tr×nh îc gäi lµ æn ®Þnh ®Òu khi t.
- NghiÖm tÇm th-êng x = 0 lµ æn ®Þnh ®Òu, 2.
- NÕu V : R × C → R + lµ liªn tôc vµ x t (t 0 , ϕ) lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (1.2.12) ®i qua ®iÓm (t 0 , ϕ.
- Hµm V ˙ (t, ϕ) ®-îc gäi lµ ®¹o hµm ph¶i trªn cña hµm V (t, ϕ) däc theo quü ®¹o cña nghiÖm ph-¬ng tr×nh (1.2.12).
- Gi¶ sö cã hµm V (t, 0) tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn trªn, ta sÏ chøng minh nghiÖm tÇm th-êng x = 0 cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n (1.2.12) lµ æn ®Þnh.
- tøc lµ nghiÖm tÇm th-êng x ≡ 0 lµ æn ®Þnh..
- khi ®ã nghiÖm tÇm th-êng x = 0 cña hÖ (1.2.12) lµ æn ®Þnh ®Òu..
- VËy nghiÖm x ≡ 0 lµ æn ®Þnh ®Òu..
- khi ®ã nghiÖm tÇm th-êng x ≡ 0 cña hÖ (1.2.12) lµ æn ®Þnh tiÖm cËn ®Òu..
- B©y giê ta sÏ chøng minh x ≡ 0 cña ph-¬ng tr×nh (1.2.12) lµ æn ®Þnh tiÖm cËn ®Òu..
- Tøc lµ ngiÖm tÇm th-êng x ≡ 0 cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n (1.2.12) lµ æn ®Þnh tiÖm cËn ®Òu..
- XÐt hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n.
- VËy ta cã nghiÖm tÇm th-êng cña hÖ lµ æn ®Þnh ®Òu..
- NghiÖm cña ph-¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh:.
- XÐt ph-¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp k.
- (1) Ph-¬ng tr×nh sai ph©n thuÇn nhÊt t-¬ng øng.
- (2) Ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng.
- NghiÖm tæng qu¸t u n cña ph-¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh (1): u n = u.
- Khi ®ã hÖ trªn t-¬ng ®-¬ng víi ph-¬ng tr×nh.
- XÐt hÖ ph-¬ng tr×nh sai ph©n.
- C¸c kh¸i niÖm vÒ æn ®Þnh XÐt hÖ ph-¬ng tr×nh sai ph©n phi tuyÕn.
- NghiÖm tÇm th-êng u(k.
- 0 cña hÖ ®-îc gäi lµ æn ®Þnh.
- 0 cña (2.1.6) lµ æn ®Þnh..
- Nªn nghiÖm tÇm th-êng cña (2.1.6) lµ æn ®Þnh..
- 0 cña (2.1.6) lµ æn ®Þnh tiÖm cËn..
- Do c¸c gi¶ thiÕt cña ®Þnh lý îc tho¶ m·n nªn nghiÖm tÇm th-êng cña (2.1.6) lµ æn ®Þnh.
- 0 cña (2.1.6) lµ kh«ng æn ®Þnh..
- 0 nªn nghiÖm tÇm th-êng cña hÖ (2.1.10) lµ æn ®Þnh..
- Tuy nhiªn nÕu c 6 = 0 th× nghiÖm tÇm th-êng cña hÖ (2.1.10) lµ kh«ng æn ®Þnh..
- 0 cña hÖ (2.1.11) lµ æn ®Þnh..
- Nªn nghiÖm tÇm th-êng cña (2.1.11) lµ æn ®Þnh..
- 0 cña hÖ (2.1.11) lµ æn ®Þnh tiÖm cËn..
- Do c¸c gi¶ thiÕt cña ®Þnh lý îc tho¶ m·n nªn nghiÖm tÇm th-êng cña (2.1.11) lµ æn ®Þnh.
- 0 cña (2.1.11) lµ æn ®Þnh tiÖm cËn..
- 0 cña hÖ (2.1.11) lµ æn ®Þnh ®Òu..
- 0 cña hÖ (2.1.11) lµ æn ®Þnh ®Òu.
- §Þnh lý sau ®©y ®-a ra ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó nghiÖm tÇm th-êng cña hÖ sai ph©n (2.1.11) lµ kh«ng æn ®Þnh..
- 0 cña hÖ (2.1.11) lµ kh«ng æn ®Þnh..
- Gi¶ sö ng-îc l¹i nghiÖm tÇm th-êng cña hÖ (2.1.11) lµ æn ®Þnh.
- VËy nghiÖm tÇm th-êng cña hÖ (2.1.11) lµ kh«ng æn ®Þnh..
- XÐt m« h×nh ®-îc cho bëi ph-¬ng tr×nh.
- (2.1.16) ViÖc so s¸nh mèi quan hÖ gi÷a tÝnh æn ®Þnh nghiÖm tÇm th-êng cña hÖ (2.1.11) víi ph-¬ng tr×nh sai ph©n.
- (iii) g tho¶ m·n bÊt ph-¬ng tr×nh (2.1.16), khi ®ã.
- NÕu nghiÖm tÇm th-êng cña (2.1.17) lµ æn ®Þnh th× víi y 0 <.
- ∆V (k, u(k)) 6 0, khi ®ã nghiÖm tÇm th-êng cña hÖ (2.1.11) lµ æn ®Þnh..
- 0 vµ ph-¬ng tr×nh (2.1.17) trë thµnh y(k + 1.
- y(k) nªn nghiÖm tÇm th-êng lµ æn ®Þnh..
- Khi ®ã a) TÝnh æn ®Þnh ®Òu cña nghiÖm tÇm th-êng y = 0 cña (2.1.17) kÐo theo tÝnh æn.
- XÐt hÖ ph-¬ng tr×nh ®éng lùc.
- NghiÖm tÇm th-êng x(t.
- 0 lµ æn ®Þnh (t-¬ng øng lµ æn ®Þnh tiÖm cËn) ®Òu..
- 0 lµ æn ®Þnh mò ®Òu..
- HÇu hÕt c¸c ph-¬ng ph¸p nghiªn cøu tÝnh æn ®Þnh nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n theo Lyapunov.
- VËy nghiÖm tÇm th-êng cña (2.2.20) lµ æn ®Þnh mò trªn T t + 0.
- Gi¶ sö nghiÖm tÇm th-êng cña hÖ thuÇn nhÊt t-¬ng øng lµ æn ®Þnh mò tøc lµ tån t¹i.
- Sau ®©y chóng t«i sÏ chøng minh ®Þnh lý vÒ tÝnh æn ®Þnh mò cña ph-¬ng tr×nh ®éng lùc trªn thang thêi gian..
- 0 (2.2.23) lµ æn ®Þnh mò, th× nghiÖm tÇm th-êng cña (2.2.18) lµ æn ®Þnh mò..
- Theo gi¶ thiÕt nghiÖm tÇm th-êng cña (2.2.23) lµ æn ®Þnh mò, khi.
- 0 cña (2.2.18) lµ æn ®Þnh mò..
- XÐt hÖ ph-¬ng tr×nh.
- t ∈ T t + 0 ®Ó hÖ ph-¬ng tr×nh (2.2.24) lµ cã nghiÖm tÇm th-êng.
- α 2 2α +β 2 th× nghiÖm tÇm th-êng cña ph-¬ng tr×nh ®éng lùc v« h-íng.
- lµ æn ®Þnh mò.
- Do ®ã theo ®Þnh lý 2.2.23 ta suy ra nghiÖm tÇm th-êng cña (2.2.25) lµ æn ®Þnh mò.
- C¸c gi¶ thiÕt cña ®Þnh lý 2.2.22 ®-îc tho¶ m·n nªn nghiÖm tÇm th-êng cña hÖ (2.2.24) lµ æn ®Þnh mò..
- 1 2 th× nghiÖm tÇm th-êng cña ph-¬ng tr×nh ®éng lùc v« h-íng.
- VËy theo ®Þnh lý 2.2.22 ta suy ra nghiÖm tÇm th-êng cña hÖ (2.2.26) lµ æn ®Þnh mò..
- ®èi víi ph-¬ng tr×nh vi ph©n hµm vµ ph-¬ng tr×nh sai ph©n.