- áp dụng các ph−ơng pháp xấp xỉ τ d dtije. - sẽ đ−ợc hệ ph−ơng trình. - ta có hệ ph−ơng trình đại số:. - và các ph−ơng trình có nút trên biên, cạnh, góc, khác.. - Ph−ơng trình F(T n , T x m. - 0 có n ≠ 1 hoặc m ≠ 1 gọi là ph−ơng trình phi tuyến tính. - Điều kiện biên đ−ợc mô tả bởi một ph−ơng trình vi phân phi tuyến gọi là điều kiện biên phi tuyến. - định nhờ định luật Stefan-Boltzmann, thì ph−ơng trình cân bằng nhiệt trên biên có dạng:. - Đó là một ph−ơng trình vi phân (hay điều kiện biên) phi tuyến tính. - Sai phân theo x: ph−ơng trình cân bằng nhiệt là:. - p ta có hệ ph−ơng trình đại số, viết ở dạng ma trận nh− sau:. - α λ [T(L,τ)-T f2 ] Bài toán này đ−ợc giải t−ơng tự nh− trên, chỉ khác ph−ơng trình cân bằng nhiệt cho nút biên W 2 là:. - Xấp xỉ Euler dẫn tới ph−ơng trình:. - Do đó, dạng ma trận của hệ ph−ơng trình đại số là:. - Ph−ơng trình này cũng đ−ợc giải với điền kiện đầu θ (X,0. - Khi giải hệ ph−ơng trình trên, phải th−ờng xuyên tính lại số hạng. - ph−ơng pháp phần tử hữu hạn finite element method (FEM). - Nội dung và các b−ớc của ph−ơng pháp phân tử hữu hạn. - T− t−ởng của FEM là thay bài toán giải hệ ph−ơng trình vi phân (t) bằng một bài toán biến phân t−ơng ứng, tức là tìm hàm số t làm cực tiểu một phiếm hàm I t−ơng ứng bài toán (t).. - mãn hệ M ph−ơng trình vi phân th−ờng cấp 1 nh− sau:. - 0, hàm t đ−ợc xác định theo hệ ph−ơng trình đại số: (K+ H) [t. - Nếu bài toán (t) không ổn định, thì sau khi sử dụng phép sai phân thời gian, ta thu đ−ợc một hệ M ph−ơng trình đại số, cho phép xác. - Để giải hệ ph−ơng trình vi phân (t) theo FEM, có thể tiến hành các b−ớc nh− sau:. - Mô tả điều kiện cực tiểu δI = 0 ở dạng hệ ph−ơng trình vi phân th−ờng cấp 1 của các nhiệt độ nút (hoặc hệ ph−ơng trình đại số khi (t) là bài toán ổn định). - Đó là hệ ph−ơng trình đại số của t và &. - 0, tiếp tục dùng phép sai phân thời gian, chuyển hệ ph−ơng trình vi phân theo dτ thành hệ ph−ơng trình đại số và giải theo điều kiện đầu.. - Lý thuyết biến phân là một ngành của toán học chuyên nghiên cứu các ph−ơng pháp tìm cực trị của các phiếm hàm. - Ph−ơng pháp biên phân:. - Ph−ơng pháp biến phân là ph−ơng pháp sử dụng điều kiện cực tiểu để tìm đ−ờng cong cực trị.. - Ph−ơng trình (E) gọi là ph−ơng trình Euler.. - Ph−ơng pháp tìm đ−ờng cong cực trị là:. - 1) Tích phân ph−ơng trình Euler thu đ−ợc hàm y(x,c 1 , c 2. - ph−ơng trình (E) có dạng F y - F y'y .y'-F y'y' .y. - C 1 là một ph−ơng trình vi phân không chứa x, giải đ−ợc bằng cách tách biến hoặc đổi biến, ví dụ. - C 1 là ph−ơng trình vi phân cấp 1 phi tuyến.. - 2t = ϕ ta có đ−ờng đoản thời là đ−ờng cycloid, mô tả bởi ph−ơng trình dạng tham số sau:. - Xác định phiếm hàm I[t(x,τ)] t−ơng ứng bài toán (t) bằng cách so sánh ph−ơng trình vi phân dẫn nhiệt và ph−ơng trình Euler- Lagrange để tìm hàm F. - Tích phân 2 ph−ơng trình trên theo t và t x , coi t và t x là biến độc lập, ta có:. - các phần tử hữu hạn, so với hàm t(x) chính xác ch−a biết thỏa mãn ph−ơng trình cân bằng nhiệt 2. - Lập hệ ph−ơng trình vi phân:. - Hệ ph−ơng trình vi phân th−ờng này đ−ợc thiết lập nhờ máy tính bằng cách đ−a vào các số liệu. - Nếu nhân ph−ơng trình C[ t &. - λ∆ x ta nhận đ−ợc hệ ph−ơng trình vi phân dạng ma trận chuẩn hoá. - Dùng phép sai phân thời gian để chuyển thành hệ ph−ơng trình đại số:. - Khác với FDM, xấp xỉ Euler với FEM luôn cho 1 hệ ph−ơng trình. - Ví dụ, khi E = 4, hệ ph−ơng trình đại số theo xấp xỉ Euler là: (khi chuẩn hoá nh− trên và đặt p = F 2. - 0→ Hệ ph−ơng trình có dạng nh− trong khung trên, bỏ ẩn số θ 1 . - So với FDM, FEM có 2 nh−ợc điểm: Hệ ph−ơng trình đại số luôn ở dạng ẩn, giới hạn chọn ∆τ nhỏ hơn.. - Ví dụ, hệ ph−ơng trình trong khung nói trên có thể viết (khi θ 1 = 0). - Sau khi chuẩn hoá, thay θ 1 = 0, hệ ph−ơng trình đại số có dạng:. - Hệ này có thể giải bằng ph−ơng pháp khử Gauss, bắt đầu từ điều kiện đầu θ (X, 0. - Bài toán t(x, τ) W 2 /W 3. - So sánh ph−ơng trình Euler-lagrange. - F với các ph−ơng. - Với các nút trong, ph−ơng trình ρCt τ = λt xx t−ơng ứng với F. - ĐK cực tiểu I là chọn [t] thoả mãn hệ ph−ơng trình vi phân cấp 1 sau:. - K ' vào ph−ơng trình trên, ta thu đ−ợc:. - λ , ta thu đ−ợc ph−ơng trình đại số là:. - Cụ thể, hệ ph−ơng trình đại số dạng ma trận của bài toán (6.5.1) là:. - Ph−ơng pháp phần tử hữu hạn giải bài toán không ổn định 2 chiều t(x, y, τ ) với biên cô lập. - Tìm t(x, y, τ) cho bởi hệ ph−ơng trình vi phân sau:. - Tìm hàm tích phân F bằng cách so sánh 2 ph−ơng trình vi phân:. - (Ph−ơng trình vi phân DN. - Biến phân δI là phần năng l−ợng tự do d− ra so với ph−ơng trình cân bằng nhiệt chính xác, có số. - Đó là hệ M ph−ơng trình vi phân cấp 1 của các nhiệt độ nút.. - Nếu sai phân theo ph−ơng pháp Euler, [t] k+1 = [t] k + ∆τ[t] k , sẽ. - đ−ợc hệ ph−ơng trình đại số M ẩn có dạng:. - Hệ ph−ơng trình dạng ẩn C [t] k+1 = (C - ∆τK)[t] k đ−ợc giải từ điều kiện đầu t (x, y, 0. - Ta sẽ giải bài toán không ổn định 2 chiều với biên W 20 , W 1 cho bởi hệ ph−ơng trình sau đây:. - Đánh số phần tử và nút, theo ph−ơng có số nút ít tr−ớc.. - 4) Lập hệ ph−ơng trình đại số, ví dụ, dạng Euler:. - Ph−ơng pháp phần tử hữu hạn giải bài toán không ổn định t (x,y, τ ) tổng quát. - Tìm trong D hàm t (x,y,τ) thoả mãn hệ ph−ơng trình sau:. - So sánh ph−ơng trình Euler - Lagrange. - các ph−ơng trình của hệ (t) ta có:. - -Với nút trong có nguồn nhiệt q v , từ ph−ơng trình VPDN. - Ph−ơng trình vi phân dẫn nhiệt cho nút trong có qv sẽ t−ơng ứng với. - Với nút trên biên W 2 , ph−ơng trình q = -λgradt t−ơng ứng với F q = qt.. - Với nút trên biên W 3 , ph−ơng trình α(t - t f. - Theo FEM, ma trận các nhiệt độ nút [t] cần đ−ợc xác định theo hệ ph−ơng trình vi phân cấp 1 sau:. - Phát biểu sai phân để đ−a về hệ ph−ơng trình đại số:. - Hệ ph−ơng trình vi phân C. - (hs + q s + q v ) sẽ có dạng hệ ph−ơng trình đại số theo các phép xấp xỉ. - Ph−ơng pháp phần tử hữu hạn giải bài toán có λ = λ(t) Khi hệ số dẫn nhiệt λ phụ thuộc nhiệt độ λ = λ (t), ta phải điều chỉnh lại biểu thức của. - Nếu dùng xấp xỉ Euler ta có hệ ph−ơng trình đại số sau:. - k [t] k+1 = -Kt k [t] k với ph−ơng trình. - Ph−ơng pháp phần tử hữu hạn giải bài toán biên phi tuyến:. - Phép xấp xỉ Euler dẫn tới hệ ph−ơng trình đại số sau:. - R là ma trận phụ thuộc T 1 nên hệ này giải bằng ph−ơng pháp lặp.. - Ph−ơng pháp phần tử hữu hạn giải bài toán 3 chiều t (x,y,z, τ ) không ổn định. - mãn hệ ph−−ơng trình (t) nh− sau:. - Tìm hàm tích phân: So sánh ph−ơng trình vi phân DN và ph−ơng trình Euler - Lagrange:. - Bài toán t(x,y,z,τ). - Đó là hệ ph−ơng. - trình vi phân cấp 1 gồm M ph−ơng trình.. - Phát biểu sai phân, ví dụ theo Crank-Nicolson, ta đ−ợc hệ ph−ơng trình đại số M ẩn nh− sau:. - là hệ M ph−ơng trình đại số. - Toàn bộ việc lập ph−ơng trình và tính toán có thể ch−ơng trình hoá và do máy tính thực hiện.. - τ nào đó, sẽ đ−ợc xác định theo ph−ơng trình cân bằng nhiệt cho 1 phân tố vật chất trên biên.. - Để cân bằng nhiệt cho dV ∈ biên đông đặc Ph−ơng trình cân bằng nhiệt cho dV ∈ W 5 sẽ là:
Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn hoặc xem
Tóm tắt