Phương pháp xác suất trong toán trung học phổ thông

- ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI.
- TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HOC TỰ NHIÊN.
- PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT TRONG TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG.
- 1.1.1 Hoán vị.
- 1.1.3 Tổ hợp.
- 1.2.1 Sự phân hoạch một số nguyên dương thành tổng các số nguyên không âm.
- 1.2.3 Phân hoạch số nguyên.
- 2 Lý thuyết đồ thị cơ bản 26 2.1 Khái niệm cơ bản về đồ thị.
- 2.1.1 Định nghĩa đồ thị và phân loại đồ thị.
- 2.1.2 Đồ thị đẳng cấu.
- 2.1.3 Biểu diễn đồ thị bằng ma trận.
- 2.1.4 Đồ thị con, đồ thị thành phần và đồ thị sinh.
- 2.2 Các yếu tố trong đồ thị vô hướng.
- 2.2.1 Bậc của đỉnh trong đồ thị.
- 2.2.4 Một số loại đơn đồ thị vô hướng.
- 2.3 Bài toán tô màu và các số Ramsey.
- 2.3.1 Lý thuyết Ramsey cho đồ thị hữu hạn.
- 2.3.2 Lý thuyết Ramsey trong trường hợp tổng quát.
- 3 Xác suất và một số ứng dụng 44 3.1 Phép thử và biến cố.
- 3.2 Xác suất của biến cố.
- 3.2.1 Định nghĩa cổ điển của xác suất.
- 3.2.2 Định nghĩa thống kê về xác suất.
- 3.2.3 Định nghĩa hình học về xác suất.
- 3.3 Định lý cộng xác suất.
- 3.4 Định lý nhân xác suất.
- 3.5 Một số mở rộng của định lý cộng và định lý nhân xác suất.
- 3.6.1 Định nghĩa.
- 66 3.7 Sử dụng xác suất chứng minh một số tính chất của các số Ramsey 68 3.8 Áp dụng xác suất và kì vọng vào một số bài toán thi học sinh giỏi 70.
- |A| Số phần tử của A.
- p(n) Số hoán vị của n phần tử phân biệt C n k Số tổ hợp chập k của n phần tử A k n Số chỉnh hợp chập k của n phần tử.
- D(n) Số xáo trộn của tập n phần tử P (A) Xác suất của biến cố A.
- Xác suất là một phần mới đối với toán trung học phổ thông nói chung,Ứng dụng xác suất trong giải các bài toán Trung học phổ thông là nội dung còn khá mới mẻ, thú vị.
- Mặt khác xác suất không chỉ có ứng dụng trong toán học mà còn có nhiều ứng dụng trong một số môn học khác, trong ngành khoa học khác..
- Học và tìm hiểu về xác suất học sinh thấy toán học gần gũi, gắn liền với cuộc sống thực tế hơn, tạo hứng thú học tập cho học sinh.
- Bởi vậy tôi lựa chọn tìm hiểu “ Phương pháp xác suất trong toán trung học phổ thông”.
- Xác suất trong toán THPT với cơ sở chủ yếu là các bài toán đếm, với đối tượng học sinh khá giỏi, còn được tiếp cận với Lý thuyết đồ thị và các bài toán liên quan giữa lý thuyết đồ thị và tổ hợp xác suất.
- Với mục đích tìm hiểu về xác suất , cách tính xác suất, một số ứng dụng của xác suất trong các bài toán THPT.
- Nhằm trang bị cho học sinh kiến thức cơ sở để sử dụng trong các bài toán đếm và bài toán xác suất.
- người học muốn học tốt xác suất cần phải có kiến thức tốt về tổ hợp đếm..
- Chương 2: Trình bày rất sơ lược về lý thuyết đồ thị, nhằm trang bị kiến thức cần thiết cho chương 3..
- Chương 3: Là chương trọng tâm, trong chương này tôi trình bày về khái niệm xác suất,tính chất, các quy tắc tính xác suất.
- Khái niệm về kỳ vọng, tính tuyến tính của kỳ vọng và áp dụng vào một số ví dụ.Trong chương này bước đầu tôi trình bày được cách sử dụng xác suất, kỳ vọng vào một số bài toán số học, tổ hợp, hình học tổ hợp..
- Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình của Thầy PGS.TS Lê Anh Vinh – Đại học Giáo Dục – Đại học Quốc gia Hà Nội.
- Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, đã giúp đỡ em trong suốt quá trình theo học.
- Ngoài cơ sở lý thuyết chính trong tài liệu trên, hệ thống ví dụ minh họa được xây dựng trên cơ sở lý thuyết tương ứng..
- Định nghĩa 1.1.1.
- Mỗi sự sắp xếp thứ tự của n đối tượng khác nhau thành hàng, mà mỗi đối tượng xuất hiện đúng một lần được gọi là một hoán vị của n đối tượng đó..
- Định lý 1.1.1.
- Số hoán vị của tập hợp A có n phần tử là p(n.
- Ví dụ 1.1.1.
- Một người trồng hoa có 5 cây hoa đỏ, 3 cây hoa vàng, 2 cây hoa trắng muốn trồng thành một hàng.
- Hỏi có bao nhiêu cách trồng?.
- Trường hợp 1: Các cây hoa đôi một khác loại nhau.
- Trường hợp 2: Các cây hoa cùng màu thuộc cùng một loại.
- Khi đó sự thay đổi vị trí của 5 cây hoa đỏ cho ta cùng một cách trồng, sự thay đổi vị trí của 3 cây hoa vàng cho ta cùng một cách trồng, sự thay đổi vị trí của 2 cây hoa trắng cho ta cùng một cách trồng.
- Nên số cách trồng 10 cây hoa đó là.
- Từ ví dụ trên ta thấy khi sắp xếp n đối tượng không đôi một phân biệt định lý 1.1.1 không còn đúng.
- Mở rộng định nghĩa hoán vị ta có định nghĩa hoán vị lặp như sau..
- Định nghĩa 1.1.2.
- Mỗi cách sắp xếp n đối tượng thành hàng trong đó có a i đối tượng loại i là một hoán vị lặp của n đối tượng đó..
- Khi đó ta có số hoán vị lặp được tính như sau..
- Định lý 1.1.2.
- có a i đối tượng loại i , i = 1, k .
- Khi đó số hoán vị lặp của n đối tượng trên là.
- Ví dụ 1.1.2.
- Ta coi mỗi số có 8 chữ số là một hoán vị lặp của 8 đối tượng, trong đó số 2 xuất hiện 3 lần, số 3 xuất hiện 2 lần, số các số thỏa mãn yêu cầu là:.
- Ví dụ 1.1.3.
- a) Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 2n người ngồi thành hàng sao cho nam nữ ngồi xen kẽ?.
- b) Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 2n người ngồi thành hàng sao cho nam ngồi liền nhau?.
- c) Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 2n người ngồi quanh một bàn tròn?.
- d) Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 2n người ngồi quanh một bàn tròn sao cho nam nữ ngồi xen kẽ?.
- Trường hợp 1: n nam ngồi ở các vị trí lẻ có n! cách.
- Với mỗi cách sắp xếp nam ta có n! cách sắp xếp n nữ vào các vị trí chẵn, nên ta có.
- cách sắp xếp nam vào vị trí lẻ, nữ vào vị trí chẵn..
- Trường hơp 2: n nam ngồi vị trí chẵn, n nữ ngồi vị trí lẻ, vậy ta có (n!) 2 cách sắp xếp..
- Vậy có 2(n!) 2 cách sắp xếp nam nữ ngồi xen kẽ..
- b) Trước hết ta sắp xếp n nam vào n vị trí liền kề nhau trong 2n vị trí.
- Khi đó ta có n + 1 cách (tương ứng với người thứ 1 ngồi ở vị trí thứ 1 tới vị trí n + 1.
- Sau đó với mỗi cách chọn n vị trí liền kề đó có n! cách sắp xếp n nam.
- Với mỗi cách sắp xếp n nam lại có n! cách sắp xếp n nữ vào n chỗ còn lại nên có.
- c) Ta cần chọn một người vào một vị trí bất kỳ trong bàn tròn để xác định số thứ tự của các chỗ ngồi, sau đó sắp xếp 2n − 1 người vào 2n − 1 vị trí có (2n − 1)! cách..
- Vậy số cách sắp xếp 2n người khác nhau vào 2n vị trí trong bàn tròn là (2n − 1)!.
- d) Lập luận tương tự ý a), ý c) ta có số cách sắp xếp là 2n!(n − 1)! cách..
- Định nghĩa 1.1.3.
- Cho tập hợp A có n phần tử n ∈ N ∗ (phân biệt).
- Mỗi cách sắp thứ tự k ( 0 ≤ k ≤ n ) phần tử của A sao cho không phần tử nào xuất hiện nhiều hơn một lần được gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử của A.
- Định lý 1.1.3.
- Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là A k n = n!.
- Tương tự hoán vị lặp ta mở rộng định nghĩa chỉnh hợp lặp như sau..
- Định nghĩa 1.1.4.
- phần tử phân biệt.
- Mỗi cách sắp thứ tự k phần tử của A , mà mỗi phần tử có thể xuất hiện nhiều hơn một.
- [1] Trần Nam Dũng, “Phương pháp xác suất.
- [2] Đào Hữu Hồ(1996), “Xác suất thống kê.
- NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, trang 3 – 49..
- [3] Đào Hữu Hồ(2011), “Hướng dẫn giải bài toán xác suất thống kê.
- NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, trang 3 – 52..
- [5] Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh(2005), “Lý thuyết xác suất và thống kê toán.
- [6] Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh(2006), “Bài tập xác suất và thống kê toán.
- Đại học Kinh tế Quốc dân, trang 5 -74.