Một số bài toán về dãy số

- Một số bài toán về dãy số.
- Hệ thống hóa kiến thức cơ bản về dãy số, số học, phương pháp sai phân sẽ được dùng để giải quyết các bài toán trong các chương sau.
- Trình bày một số vấn đề về tính chất số học của dãy số như tính chia hết, tính nguyên, tính chính phương…và nêu ra các phương pháp giải toán, phân tích các bài toán cụ thể.
- Đề cập đến một số bài toán về giới hạn dãy số như: giới hạn của tổng, dãy con và sự hội tụ của dãy số, dãy số xác định bởi phương trình cùng với phương pháp giải cụ thể cho từng dạng toán.
- Dãy số.
- Dãy số là một lĩnh vực khó và rất rộng, trong các đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế cũng thường xuất hiện các bài toán về dãy số.
- Để giải được các bài toán về dãy số đòi hỏi người làm toán phải có kiến thức tổng hợp về số học, đại số, giải tích.
- Các vấn đề liên quan đến dãy số cũng rất đa dạng và cũng có nhiều tài liệu viết về vấn đề này, các tài liệu này cũng thường viết khá rộng về các vấn đề của dãy số, các vấn đề được quan tâm nhiều hơn là các tính chất số hoc và tính chất giải tích của dãy số..
- Tính chất số học của dãy số thể hiện như tính chia hết, tính nguyên, tính chính phương.
- tính chất giải tích có nhiều dạng nhưng quan trọng là các bài toán tìm giới hạn dãy số.
- Các bài toán về dãy số thường là các bài toán hay và khó, tác giả luận văn đã sưu tầm, chọn lọc và phân loại theo từng chủ đề.
- Luận văn với đề tài “Một số bài toán về dãy số” có mục đích trình bày một cách hệ thống, chi tiết tính chất số học của dãy số, giới hạn dãy số.
- Chương này hệ thống lại kiến thức cơ bản nhất về dãy số, số học, phương pháp sai phân sẽ được dùng để giải quyết các bài toán trong các chương sau..
- Tính chất số học của dãy số.
- Chương này trình bày một số vấn đề về tính chất số học của dãy số như tính chia hết, tính nguyên, tính chính phương… và nêu ra các phương pháp giải toán, phân tích các bài toán cụ thể..
- Giới hạn của dãy số.
- Chương này đề cập đến một số bài toán về giới hạn dãy số như: Giới hạn của tổng, dãy con và sự hội tụ của dãy số, dãy số xác định bởi phương trình cùng với phương pháp giải cụ thể cho từng dạng toán..
- MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.DÃY SỐ.
- Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).
- Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển u 1 , u 2 , u 3.
- Trong đó u n = u(n) và gọi u 1 là số hạng đầu, u n là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.
- m} với mN* được gọi là một dãy số hữu hạn.
- Cách cho một dãy số.
- Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát - Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi.
- Dãy số cho bằng phương pháp mô tả:.
- Một vài dãy số đặc biệt.
- Dãy số u 1 , u 2 , u 3.
- Bằng phương pháp sai phân có thể tìm được công thức tổng quát của dãy là:.
- 1.1.4 Giới hạn của dãy số.
- Ta nói rằng dãy số (u n ) có giới hạn là hằng số thực a hữu hạn nếu với mọi số dương  (có thể bé tùy ý), luôn tồn tại chỉ số n 0  N (n 0 có thể phụ thuộc vào  và vào dãy số (u n ) đang xét), sao cho với mọi chỉ số n  N, n  n 0 ta luôn có u n.
- hoặc limu n = a và còn nói rằng dãy số (u n ) hội tụ về a.
- Dãy số không hội tụ gọi là dãy phân kì.
- Nếu một dãy số hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất Định lý 2.(Tiêu chuẩn hội tụ Weierstrass).
- a) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ..
- b) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ..
- c) Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ..
- Nếu dãy số (u n ) có giới hạn hữu hạn là a thì dãy số các trung bình cộng.
- TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA DÃY SỐ.
- Dãy số nguyên là phần quan trọng trong lý thuyết dãy số.
- Ngoài các vấn đề chung như tìm số hạng tổng quát của dãy số, tìm công thức tính tổng n số hạng đầu tiên… các bài toán về dãy số thường quan tâm đến tính chất số học của dãy số như tính chia hết, đồng dư, nguyên tố, chính phương, nguyên tố cùng nhau…Các bài toán về dãy số nguyên rất đa dạng, trong nhiều trường hợp dãy số chỉ là cái bề ngoài còn bản chất bài toán là bài toán số học..
- Một số bài toán về sự chia hết của các số hạng của dãy số thường được giải bằng cách xác định số hạng tổng quát của dãy số sau đó dựa vào các định lý về đồng dư để chứng minh sự chia hết.
- Việc xác định số hạng tổng quát của dãy số thường được tìm bằng phương pháp sai phân hoặc thông qua dãy số phụ để đưa về phương trình sai phân thuần nhất..
- Dãy số (u n ) được xác định như sau:.
- Nhận xét: Công thức truy hồi của dãy số rất phức tạp, tuy nhiên nếu đặt dãy số phụ ta sẽ đưa được về dạng tuyến tính cấp hai..
- Từ công thức truy hồi của dãy ta có.
- Cho dãy số nguyên (a n ) xác định bởi a 0 =1, a 1 = -1.
- Xét dãy số nguyên (b n ) xác định bởi.
- Phương trình đặc trưng của dãy (b n.
- 0 Suy ra số hạng tổng quát của dãy (b n ) có dạng: b n = C 1.
- Từ các điều kiện ban đầu của dãy (b n.
- Số hạng tổng quát của dãy (a n.
- Việc tìm số hạng tổng quát của dãy số cũng có thể thông qua biến đổi liên tiếp các số hạng phụ thuộc nhau và biểu diễn qua một vài số hạng đầu và có thể áp dụng phương pháp quy nạp để chứng minh..
- Các bài toán chứng minh dãy số có vô hạn số hạng chia hết cho một số cho trước thường được chứng minh số dư trong phép chia là hữu hạn và do đó tuần hoàn dẫn đến có vô hạn số hạng chia hết cho số đã cho..
- Các bài toán chứng minh dãy số gồm toàn các số nguyên được đưa về công thức truy hồi tuyến tính sau đó chứng minh bằng phương pháp quy nạp với một vài số hạng đầu là số nguyên..
- Nhận xét: Ta cũng có thể giải bài toán này bằng cách khác như sau:.
- Ta có:.
- Từ bài toán này có thể cho nhiều bài toán với các giá trị a, b, c cụ thể.
- Chẳng hạn, chứng minh rằng mọi số hạng của các dãy số sau đều là số nguyên..
- Ta cũng có thể dựa vào cách chứng minh để đưa ra các bài toán sau:.
- Với tính chất này ta thường tìm số hạng tổng quát của dãy số, đưa biểu thức cần chứng minh về bình phương đủ của một số nguyên.
- Với một số bài toán tổng quát ta có thể đặc biệt hóa để có bài toán mới, ngược lại với một bài toán cụ thể ta có thể tổng quát hóa để được một dạng toán.
- Từ công thức truy hồi của dãy ta thay n + 1 bởi n ta được.
- Ta có .
- GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 3.1.GIỚI HẠN CỦA TỔNG.
- Các bài toán về tìm giới hạn của tổng ta thu gọn tổng đó bằng cách phân tích hạng tử tổng quát thành hiệu các hạng tử nối tiếp nhau để các hạng tử có thể triệt tiêu, cuối cùng đưa tổng đó về biểu thức chỉ còn chứa x n , sau đó tìm limx n.
- Cho dãy số (x n ) (n = 1, 2.
- Ta có thể chứng minh limx n.
- 3.2.DÃY CON VÀ SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY SỐ.
- Khi khảo sát sự hội tụ của dãy số ta thường sử dụng các định lý về tính đơn điệu và bị chặn, nếu dãy không đơn điệu thì xét dãy với chỉ số chẵn, chỉ số lẻ.
- Tuy nhiên có những dãy số phức tạp, tăng giảm bất thường, trong trường hợp như thể ta thường xây dựng các dãy số phụ đơn điệu, chứng minh các dãy số phụ có giới hạn, sau đó chứng minh dãy số ban đầu có cùng giới hạn, các dãy số phụ phải được xây dựng từ dãy số chính.
- Nhận xét: Mọi dãy con của dãy hội tụ đều hội tụ và ngược lại nếu limx 2n = limx 2n+1 = a thì limx n = a.
- Dãy số (x n ) được xác đinh bởi công thức:.
- Xét dãy số (a n ) được xác định bởi a .
- Thay các giá trị của x 0 , x 1 để tìm C 1 , C 2 từ đó tìm được limx n =0 3.3.DÃY SỐ XÁC ĐỊNH BỞI PHƢƠNG TRÌNH.
- Dãy số có mối quan hệ chặt chẽ với phương trình điều này thấy rõ qua hai nội dung cơ bản là phương trình sai phân tuyến tính được giải bằng phương trình đặc trưng, giới hạn của dãy số cũng thường được giải ra từ phương trình.
- Đây là một trong các nội dung quan trọng nhất của phần dãy số..
- Với dạng toán tìm giới hạn của dãy số có liên quan đến phương trình ta thường xét tính đơn điệu của hàm số, áp dụng định lý Lagrange và định lý về giới hạn kẹp giữa..
- Chứng minh dãy (x n ) hội tụ.
- Tức dãy số (x n ) giảm, do dãy số này bị chặn dưới bởi 0 nên dãy số có giới hạn.
- Ta chứng minh dãy số trên có giới hạn bằng 0.
- Dãy số là một lĩnh vực khá rộng và khó, các bài toán dãy số rất đa dạng.
- Trong bản luận văn này chỉ đề cập đến tính chất số học của dãy số và giới hạn của dãy số..
- Luận văn đã trình bày hệ thống các bài toán về tính chất số học của dãy số như tính chia hết, tính nguyên, tính chính phương.
- Trong các bài toán này đều vận dụng kiến thức tổng hợp về số học, dãy số, phương pháp sai phân, mỗi dạng toán đều nêu phương pháp giải cụ thể, có đề xuất một số dạng toán tổng quát, một số bài toán tổng quát cũng đã được đặc biệt hóa để có nhiều bài toán khác..
- Luận văn cũng đã trình bày một số dạng toán về giới hạn dãy số như giới hạn của tổng, dãy con và sự hội tụ của dãy số, dãy số xác định bởi phương trình.
- Các bài toán dạng này đều có phương pháp giải cụ thể vận dụng các kiến thức về dãy số, các định lý về giới hạn..
- Luận văn đã chọn lọc được các bài toán điển hình cho mỗi dạng toán, đặc biệt có nhiều bài toán là đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế những năm gần đây qua đó thấy vai trò quan trọng của bài toán về dãy số trong các đề thi này..
- Tuy nhiên, do thời gian và năng lực bản thân còn hạn chế nên bản luận văn này chắc không tránh được thiếu sót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thày cô giáo, các bạn đồng nghiệp, các em học sinh để cuốn tài liệu về dãy số này được hoàn thiện hơn..
- Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán thpt các bài toán về dãy số, NXB Giáo dục..
- 10.000 bài toán sơ cấp dãy số và giới hạn, NXB Hà Nội..
- Các bài toán chọn lọc 45 năm tạp chí toán học tuổi trẻ (2009), NXB Giáo dục.