- NỘI SUY VÀ PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT 4.1 NỘI SUY ĐA THỨC. - 4.1.1 Vấn đề nội suy. - Các giá trị đó được cung cấp qua thực nghiệm hay tính toán. - Vậy ta có vấn đề toán học sau. - x n ≤ b tương ứng tại các x i ta có giá trị của hàm số y = f(x) là y i = f(x i ) như trên bảng sau:. - Bây giờ ta phải tìm hàm f(x) dưới dạng một đa thức dựa vào bảng trên đây.. - Giả sử ta xây dựng được đa thức bậc n : p n (x) =a 0 x n + a 1 x n-1. - Đa thức p n (x) gọi là đa thức nội suy của hàm f(x). - Ta chọn đa thức để nội suy hàm f(x) vì đa thức là loại hàm đơn giản, luôn có đạo hàm và nguyên hàm, việc tính giá trị cũng dễ dàng. - Ta có p n (x. - +a n Do đó có sơ đồ Hoocne tính giá trị p n (c):. - ,b n = b n-1 c + a n = p n (c) 4.1.2 Sự duy nhất của đa thức nội suy. - Định lý 4.1 Đa thức nội suy p n (x) của hàm số f(x) định nghĩa ở trên nếu có thì chỉ có một mà thôi.. - Chứng minh: Giả sử có hai đa thức p n (x) và q n (x) cùng nội suy cho một hàm f(x) Lúc đó ta phải có. - q n (x) là một đa thức có bậc ≤n lại triệt tiêu tại n + 1 giá trị khác nhau x i vì p n (x i. - Đa thức nội suy có thể xây dựng bằng nhiều cách, nhưng vì nó có tính duy nhất, nên tất cả các dạng của nó đều có thể quy về nhau được.. - 4.1.3 Đa thức nội suy Lagrangiơ. - Dưới đây ta xây dựng đa thức nội suy theo kiểu Lagrangiơ. - Rõ ràng I i (x) là đa thức bậc n và I i (x j. - Ta gọi đó là đa thức Lagrangiơ cơ bản.. - Vậy p n (x) xác định theo (4-2) là một đa thức nội suy. - Ta gọi nó là đa thức nội suy Lagrangiơ.. - 4.1.4 Một số trường hợp hay gặp và thí dụ 1) Nội suy bậc nhất ( nội suy tuyến tính) Với n = 1 ta có lưới trong bảng dưới:. - Đa thức nội suy (4-2) sẽ là:. - Đa thức p 1 (x) là bậc nhất đối với x có dạng Ax + b.. - 2) Nội suy bậc hai Với n = 2 ta có lưới. - Đa thức nội suy (4-2) là. - Đa thức p 2 (x) là một đa thức bậc hai đối với x có dạng Ax 2 + Bx + C.. - x 1 2 3 4 y Hãy thiết lập đa thức nội suy.. - Giải : Ta có n = 3 đa thức nội suy là đa thức bậc ba. - Theo (4-2) ta có:. - 4.1.5 Sai số nội suy và vấn đề chọn nút nội suy. - Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b} và có trong (a,b) đạo hàm đến cấp n+1 thì sai số nội suy r n (x. - Chú thích : Sai số nội suy r n (x) phụ thuộc vào đa thức π(x) tức là phụ thuộc sự phân bố các nút x i trên đoạn [x 0 ,x n. - Đó là các nghiệm của đa thức Trêbưsép: cos[( 1 ) arccos ] 2. - Lúc đó ta có π(x. - Các nút (4-7) thưa ở khoảng giữa đoạn [-1,1]. - 4.1.6 Nội suy bằng đa thức Niutơn. - Ta xét một phương pháp khác để tìm đa thức nội suy phương pháp Niutơn.. - Và tiếp tục như thế ta có các tỉ hiệu cấp cao hơn.. - P n (x) là một đa thức bậc n thì tỉ hiệu cấp một tại x, x 0 là. - là một đa thức bậc n-1. - Là một đa thức bậc n-2, v.v.. - Vì vậy thay cho (4-8) ta có. - Ta cũng tính được đa thức Niutơn lùi xuất phát từ nút x n của hàm y = f(x) là : p n (x. - 2) Đa thức Niutơn (4-9) trùng với đa thức Lagrangiơ, nhưng thiết lập cách khác. - Theo cách của Niutơn khi thêm một nút x n+1 vào lưới nội suy ta chỉ phải thêm vào p n (x) một số hạng. - mà không phải xây dựng lại tất cả các đa thức cơ bản như cách thiết lập của Lagrangơ.. - 4.1.7 Trường hợp nút cách đều. - n-1 y i ) Khi đó ta có. - Bây giờ ta đặt x = x 0 + ht trong đa thức Niutơn tiến (4-9) ta có. - n (4-11) Gọi là Đa thức Niutơn tiến xuất phát từ x 0 trong trường hợp nút cách đều.. - Với n = 1 ta có. - Với n = 2 ta có. - Tương tự như khái niệm sai phân tiến ta có các sai phân lùi tại i được xác định. - Ta có đa thức Niutơn lùi xuất phát từ x n trong trường hợp nút cách đều. - Cho lưới giá trị ( Đây cũng chính là các giá trị của hàm sinx. - Hãy tính giá trị gần đúng tại y(0,14) và y(0,46). - Giải : Dựa vào lưới ta tìm hàm y dưới dạng một đa thức nội suy.. - Ta thấy các nút ở đây cách đều với h = 0,1 nên ta áp dụng đa thức Niutơn.. - Ứng với x = 0,14 ta có t ⇒ t = 0,4. - Trường hợp này ta biết y(x. - Theo (4-5) ta có |sin(0,14. - 0,4 ta dùng đa thức Niutơn lùi xuất phát từ x 3 = 0,4. - Với x = 0,46 ta có t ⇒ t = 0,6. - Sai số tính theo (4-5) như trên ta có |sin(0,46. - ∉[0,1;0,4] tức là ta phải “ngoại suy” còn đúng là nội suy.. - Để xác định chúng ta phải xác định các cặp giá trị tương ứng (x i ,y i. - 4.2.2 Trường hợp y = a + bx. - Giải: Ta lập bảng các giá trị sau. - Giải hệ ta có a . - 4.2.3 Trường hợp các quan hệ khác. - Đối với y = ae bx với a>0 Lấy logarit thập phân hai vế ta có. - Đặt lgy =Y, lga = A, bloge = B, x = X ta có:. - Lấy logarit hai vế ta có : lgy = lga + b lgx. - Đặt lgy = Y, lg a = A, b = B, lgx = X ta có : Y = A + BX ta lại giải quyết như trên.. - Câu 1 : Nội suy bằng đa thức Niuton để tìm x sao cho f(x. - Biết bảng giá trị sau
Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn hoặc xem
Tóm tắt