CHƯƠNG 2: MA TRẬN

- CHƯƠNG 2: MA TRẬN .
- Cho một ma trận vuông [A], cấp n.
- Ví dụ ma trận .
- là ma trận Hermite.
- Ma trận [A] gọi là trực giao nếu [A] T [A.
-  là ma trận unita .
- Ma trận [A] gọi là xác định dương nếu với vec tơ [x] bất kì ta có: .
- Ma trận [A] gọi là nửa xác định dương nếu với vec tơ [x] bất kì ta có: .
- Phép biến đổi Householder dùng ma trận Householder.
- Sơ đồ biến đổi của ma trận 4 × 4 là: .
- với [E 2 ] là ma trận đơn vị 2 × 2 và [H] là ma trận (n ‐ 2.
- để có được ma trận ba đường chéo(tridiagonal).
- BIẾN ĐỔI THÀNH MA TRẬN HESSENBERG .
- Ma trận Hessenberg là ma trận có dạng: .
- Để phân tích ma trận ta dùng chương trình cthessenberg.m: .
- PHÂN TÍCH MA TRẬN THEO PHƯƠNG PHÁP DOOLITTLE .
- Một ma trận không suy biến [A] gọi là phân tích được thành tích hai ma trận [L] và [R] nếu: .
- Với ma trận bậc 3, [L] và [R] có dạng: .
- PHÂN TÍCH MA TRẬN THEO PHƯƠNG PHÁP CROUT .
- Ta xây dựng hàm crout() để phân tích ma trận theo thuật toán Crout: .
- PHÂN TÍCH MA TRẬN THEO PHƯƠNG PHÁP CHOLESKI .
- Vế phải là ma trận đối xứng.
- Cân bằng với phần tử của ma trận [A] ta có: .
- Trong đó [Q] là ma trận trực giao và [R] là ma trận tam giác phải.
- Ta dùng biến đổi Householder để tìm các ma trận [Q] và [R].
- Ta xây dựng hàm qrdecom() để phân tích ma trận: .
- Để phân tích ma trận ta dùng chương trình ctqrdecom.m.
- Để phân tích một ma trận ta dùng chương trình ctgivens.m: .
- Ta gọi các cột của ma trận [A] là a 1 ,...,a n .
- PHÂN TÍCH MA TRẬN THEO GIÁ TRỊ RIÊNG Cho ma trận [A], ta có: .
- Ta dùng chương trình cteigdecom.m để phân tích ma trận: .
- và ta nhận được phân tích LQ của ma trận [A].
- Để phân tích một ma trận ta dùng chương trình ctlqdecom.m: .
- [V][Λ][V] ‐1 trong đó [Λ] là ma trận đường chéo [Λ.
- Trong đó [J] là ma trận gần đường chéo: .
- là khối Jordan và ma trận [J] được gọi là dạng Jordan kinh điển của ma trận [A].
- Do vậy nếu ma trận [A] có các vec tơ riêng độc lập tuyến tính thì dạng Jordan trùng với dạng đường chéo của ma trận [S] ‐1 [A][S.
- PHÂN TÍCH MA TRẬN THEO CÁC GIÁ TRỊ KÌ DỊ .
- nghĩa là các ma trận [U] và [V] là trực giao.
- Để tính các ma trận [U], [S] và [V] ta tìm các giá trị riêng của [A][A] T và [A] T [A].
- Để phân tích một ma trận ta dùng chương trình ctsvddecomp.m: .
- ma trận unita và [T.
- là ma trận chuyển vị liên hợp của [T](lâý chuyển vị của [T] rồi lấy liên hợp của các phần tử).
- là ma trận đường chéo có các phần tử là các giá trị riêng của [A] .
- Tạo [V 1 ] là ma trận có các cột là [v 1.
- Trong đó [A 1 ] là ma trận (n‐1)×(n‐1) .
- Lặp lại quá trình với ma trận [A 1 ] ta có: .
- Trong đó [A 2 ] là ma trận (n‐2)×(n‐2) .
- Để phân tích ma trận ta dùng chương trình ctschur.m: .
- ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN .
- Cho một ma trận vuông cấp n.
- Cho ma trận vuông [A] cấp n.
- Cho ma trận [A] có a 1,1 ≠ 0 .
- Ta xây dựng ma trận [B] có các phần tử .
- Cho ma trận vuông [A] cấp n.
- Cofactor A ij của ma trận [A] là: .
- Ví dụ với ma trận .
- ta có các ma trận con là: .
- Như vậy ma trận mới là: .
- NGHỊCH ĐẢO BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH MA TRẬN .
- Cho ma trận [A[, ta có thể phân tích nó thành ma trận tam giác phải [R] .
- Do định nghĩa ma trận nghịch đảo: .
- Dạng của ma trận [E] .
- Để nghịch đảo ma trận .
- Cho ma trận [A] cấp m×n.
- Để tính ma trận [B] ta dùng chương trình ctpseudoinv.m: .
- GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VEC TƠ RIÊNG CỦA MA TRẬN .
- Cho ma trận [A] vuông, cấp n.
- với [A] là ma trận đối xứng.
- với [P] là ma trận không suy biến.
- cũng chính là giá trị riêng của ma trận [A.
- Phương pháp dịch chuyển : Cho ma trận [A] đối xứng.
- Để tính giá trị riêng của ma trận gần với s ta dùng chương trình ctshiftpower.m.
- TÌM GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA MA TRẬN BA ĐƯỜNG CHÉO ĐỐI XỨNG .
- Đa thức đặc tính của ma trận có dạng: .
- Đối với ma trận đối xứng thì: .
- Để tìm các giá trị riêng khác của ma trận ta dùng phương pháp quét.
- Để tính giá trị riêng và vec tơ riêng của ma trận ta dùng chương trình ctsweeping.m.
- Ta tạo ra ma trận trực giao chuẩn [V] gồm các các vec tơ riêng sao cho [V] T [V.
- Nhân trước và sau ma trận [A] với.
- bằng cách chọn θ của ma trận quay [R pq (θ)] sao cho: .
- Trong đó [A] và [B] là các ma trận đối xứng cấp n.
- Cho ma trận [A] ta có thể tìm được ma trận [Q] và [R] sao cho: .
- Sau đó ta xây dựng ma trận [A 1.
- Tiếp tục phân tích QR ma trận [A 1.
- [Q 1 ][R 1 ] và lại xây dựng ma trận [A 2.
- Sau đó ta xây dựng ma trận: .
- Ma trận [A 1 ] sẽ có cùng giá trị riêng với ma trận [A].
- [L 1 ][R 1 ] (3) Và sau đó ta xây dựng ma trận: .
- Để tính các giá trị riêng của ma trận ta dùng chương trình ctrutishauser.m: .
- Các giá trị riêng của ma trận [A] là nghiệm của đa thức đặc trưng: .
- Để tìm các giá trị riêng của ma trận ta dùng chương trình ctfaclev.m: .
- Để tìm giá trị riêng của ma trận ta dùng chương trình ctkrylov.m: .
- Cho ma trận Hessenberg [B] và λ là một giá trị riêng của [B].
- Nếu cho một ma trận bất kì [A], ta có thể biến đổi Householder nó thành ma trận Hessenberg [B] đồng dạng với [A].
- Để phân tích ma trận ta dùng chương trình ctarnoldi.m: .
- Cho ma trận [A] đối xứng.
- Ta phân tích ma trận thành các ma trận [Q] .
- với: [Q][Q] T = [E], nghĩa là [Q] là ma trận trực giao và [T] là ma trận ba đường chéo đối xứng.
- Để phân tích ma trận ta dùng chương trình ctlanczos.m: 

Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn
hoặc xem Tóm tắt