- CHƯƠNG 3: NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM. - NỘI SUY LAGRANGE . - Lúc đó ta cần tìm đa thức. - Đa thức P n (x) được gọi là đa thức nội suy của hàm y=f(x). - Ta chọn đa thức để nội suy hàm y = f(x) vì đa thức là loại hàm đơn giản, luôn có đạo hàm và nguyên hàm. - Bây giờ ta xây dựng đa thức nội suy kiểu Lagrange. - Gọi L i là đa thức: . - Rõ ràng là L i (x) là một đa thức bậc n và. - Ta gọi đa thức này là đa thức Lagrange cơ bản. - Ta thấy P n (x) là một đa thức bậc n vì các L i (x) là các đa thức bậc n và thoả mãn điều kiện P n (x i. - Ta gọi nó là đa thức nội suy Lagrange. - Với n = 1 ta có bảng . - Đa thức nội suy sẽ là. - Như vậy P 1 (x) là một đa thức bậc nhất đối với x Với n = 2 ta có bảng . - Như vậy P 1 (x) là một đa thức bậc hai đối với x. - Ta xây dựng hàm lagrange() để thực hiện việc nội suy hàm theo thuật toán Lagrange: . - và tìm y(2.5) ta dùng chương trình ctlagrange.m: . - NỘI SUY NEWTON . - Bây giờ ta xét một cách khác để xây dựng đa thức nội suy gọi là phương pháp Newton. - P n (x) là một đa thức bậc n thì tỉ hiệu cấp 1 tại x, x 0. - là một đa thức bậc (n ‐ 1). - là một đa thức bậc (n‐2) v.v và tới tỉ hiệu cấp (n + 1) thì. - 0 nên từ đó ta có. - Đa thức này gọi là đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút x 0 của hàm y = f(x). - Ngoài đa thức tiến còn có đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ điểm x n có dạng như sau. - n‐1 y i ) Khi đó ta có: . - Bây giờ đặt x = x 0 + ht trong đa thức Newton tiến ta được: . - thì ta nhận được đa thức Newton tiến xuất phát từ x 0 trong trường hợp nút cách đều. - Với n = 1 ta có. - y 0 + ∆y 0 Với n = 2 ta có: . - và đa thức nội suy Newton lùi khi các điểm nội suy cách đều: . - Ta xây dựng hàm newton() để nội suy: . - Ta dùng chương trình ctnewton.m để nội suy: . - NỘI SUY AITKEN ‐ NEVILLE . - Một dạng khác của đa thức nội suy được xác định bằng thuật toán Aitken ‐ Neville. - Giả sử ta có n điểm đã cho của hàm f(x). - Như vậy qua hai điểm x 0 và x 1 ta có đa thức nội suy Lagrange của hàm f(x) được viết dưới dạng: . - Đây là một đa thức bậc 1: . - Đa thức nội suy Lagrange của f(x) qua 3 điểm x 0 , x 1 , x 2 có dạng: . - và là một đa thức bậc 2: . - Tổng quát đa thức nội suy Lagrange qua n điểm là: . - Như vậy ta có thể dùng phép lặp để xác định lần lượt các đa thức Lagrange. - Ta xây dựng hàm aitkenneville() để nội suy: . - Cho các cặp số và (5, 11), để tìm y tại x = 2.5 ta dùng chương trình ctaitkennevile.m: . - NỘI SUY BẰNG ĐƯỜNG CONG SPLINE BẬC BA . - Khi số điểm cho trước dùng khi nội suy tăng, đa thức nội suy có dạng sóng và sai số tăng. - và nội suy nó bằng thuật toán Newton nhờ chương trình cttestintp.m . - Để tránh hiện tượng sai số lớn khi số điểm mốc tăng ta dùng nội suy nối trơn(spline). - Trên các đoạn nội suy ta thay hàm bằng một đường cong. - Cho một loạt giá trị nội suy (x 1 , y 1 ),…,(x i , y i ),…,(x n , y n. - Trên mỗi đoạn ta có một hàm bậc 3. - Sử dụng nội suy Lagrange cho hai điểm ta có: . - y i ta có: . - Sau khi biến đổi ta có phương trình: . - h ta có: . - n ‐ 1 Ta xây dựng hàm cubicspline() để nội suy: . - y = ((x ‐ xData(i+1))^3/h ‐ (x ‐ xData(i+1))*h)*k(i)/6.0. - ((x ‐ xData(i))^3/h ‐ (x ‐ xData(i))*h)*k(i+1)/6.0. - Ta có chương trình ctcubicspline.m dùng nội suy: . - NỘI SUY BẰNG ĐA THỨC CHEBYSHEV . - Khi nội suy bằng đa thức Newton hay Lagrange, nghĩa là thay hàm thực bằng đa thức xấp xỉ, có khoảng cách cách đều thì sai số giữa đa thức nội suy và hàm thực có xu hướng tăng tại hai mút nội suy. - Do vậy ta nên chọn các điểm mốc nội suy ở hai mút dày hơn ở giữa. - Một trong những cách chọn phân bố các điểm mốc là hình chiếu lên trục x của các điểm cách đều trên đường tròn tâm tại điểm giữa của đoạn nội suy. - Như vậy với đoạn nội suy [‐1, 1] ta có: . - Với đoạn nội suy [a, b] bất kì: . - Các nút nội suy này được gọi là các nút Chebyshev. - Đa thức nội suy dựa trên các nút Chebyschev gọi là đa thức nội suy Chebyshev. - Ta chọn số nút nội suy lần lượt là 5, 9, 11 và xây dựng các đa thức Newton (hay Lagrange) c 4 (x), c 8 (x) và c 10 (x) đi qua các nút này và vẽ đồ thị của hàm thực cũng như sai số khi nội suy bằng chương trình ctcomchebynew.m với các N khác nhau. - Khi tăng số điểm mốc, nghĩa là tăng bậc của đa thức Chebyschev, sai số giảm. - Đa thức Chebyshev bậc n được xác định bằng: . - Ta có: . - xʹ (5) Các đa thức Chebyshev đến bậc 6 là: . - Ta xây dựng hàm cheby() để tìm đa thức nội suy Chebyshev: . - Để tìm đa thức Chebyshev dùng xấp xỉ hàm 1 2 f(x. - NỘI SUY BẰNG ĐA THỨC HERMIT . - Trong một số trường hợp, ta cần tìm hàm đa thức không những đi qua các điểm cho trước mà còn phải thoả mãn điều kiện về đạo hàm tại các điểm đó. - Ta gọi đa thức như vậy là đa thức nội suy Hermit. - Để đơn giản, ta khảo sát một đa thức bậc 3: . - Bây giờ ta tìm đa thưc nội suy Lagrange hay Newton đi qua 4 điểm: . - Hàm hermits() dùng hàm hermit() để tính các hệ số của đa thức Hermit trên nhiều đoạn và giá trị nội suy: . - Để nội suy ta dùng chương trình cthermite.m: . - Nội suy bằng các dùng biến đổi Fourrier rời rạc: Ta dùng DFS/DFT để nội suy dãy x[n] nhận được từ kết quả lấy mẫu tín hiệu ở khoảng cách cách đều. - Ta xây dựng hàm nội suy interpdfs. - %pt.(.5) Để nội suy ta dùng chương trình ctfourier.m: . - Khái niệm chung: Trong các mục trước ta đã nội suy giá trị của hàm. - Trong thực tế, bên cạnh bài toán nội suy ta còn gặp một dạng bài toán khác. - Hàm xấp xỉ có dạng đa thức: Trong trường hợp tổng quát ta chọn hệ hàm xấp xỉ là một đa thức, nghĩa là: . - Để xấp xỉ một dãy số liệu bằng hàm đa thức ta dùng chương trình ctpolynomfit.m: . - Lấy logarit hai vế ta có. - ta có hệ phương trình. - Giải hệ phương trình này ta có các hệ số A và c. - Lấy logarit hai vế ta có: . - Theo điều kiện đạo hàm triệt tiêu ta có hệ phương trình. - Giải hệ phương trình này ta có các hệ số A và q. - Theo điều kiện đạo hàm triệt tiêu ta có hệ phương trình đối với các hệ số dạng: . - Giải hệ ta có. - Hàm hữu tỉ : Khi quan hệ y = f(x) có dạng đường cong bão hoà hay dạng arctan, tan v.v ta dùng hàm xấp xỉ là hàm hữu tỉ dạng đơn giản: . - Lấy nghịch đảo của nó ta có. - và là một đa thức bậc một. - Do vậy ta có hệ phương trình đối với các hệ số A và B là:
Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn hoặc xem
Tóm tắt